[논문 리뷰] Selmer groups of Hecke characters and Chow groups of self products of CM elliptic curves

Jonathan Dee|ArXiv.org|1999. 01. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Kato의 명시적 상호작용과 Rubin의 주 추측 증명을 이용하여, 복소 곱수를 가진 타원곡선의 헤크 캐릭터에 대한 세일머 군을 유계화하고, 이는 복소 곱수를 가진 타원곡선의 자기곱에서 p-진 사이클 클래스 사상의 이미지 안의 토판에 대한 유계를 이끌어낸다. 이러한 결과는 거의 모든 소수 p에 대해 임의의 코드미너션의 초등군에 적용된다.

ABSTRACT

We bound Selmer groups attached to Grossencharacters of CM elliptic curves by the appropriate $L$-value. Our method is to use Kato's explicit reciprocity law and the Main Conjecture as proved by Rubin. These results are then used together with work of Han and fundamental results of Nekovar to bound the torsion in the image of the $p$-adic cycle class map for self products of CM elliptic curves. Our results are valid for Chow groups of arbitrary codimension for almost all $p$.

연구 동기 및 목표

• CM 타원곡선의 그로센카라크터에 연결된 세일머 군을 L-값을 이용하여 유계화하는 것.
• 이 유계를 이용하여, 복소 곱수를 가진 타원곡선의 자기곱에서 p-진 사이클 클래스 사상의 이미지가 초등군에 어떻게 작용하는지 연구하는 것.
• 이전에 코드미너션 1에 국한된 초등군 결과를 임의의 코드미너션과 거의 모든 소수 p로 확장하는 것.
• CM 타원곡선의 맥락에서 Kato의 명시적 상호작용과 Rubin의 주 추측 증명을 활용하는 것.
• 헤크 캐릭터의 산술과 복소 곱수를 가진 타원곡선의 자기곱에서 대수적 사이클의 산술 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• Kato의 명시적 상호작용 법칙을 이용하여 L-함수의 특수값을 세일머 군의 원소와 연결한다.
• CM 타원곡선에 대한 Rubin의 주 추측 증명을 적용하여 세일머 군의 크기를 제어한다.
• 이 유계를 네코바르의 p-진 높이 쌍함수와 사이클 클래스 사상에 관한 결과와 결합한다.
• 세일머 군에 대한 유계를 p-진 사이클 클래스 사상의 이미지 안의 토판에 대한 제약 조건으로 변환한다.
• 자기곱에서의 CM 타원곡선에 이 기법을 적용하여, 임의의 코드미너션에서의 초등군을 분석한다.
• p-진 L-함수와 헤크 캐릭터 간의 호환성을 이용하여, 모든 유한한 소수 p를 제외한 나머지 소수 p에 대해 결과를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 CM 타원곡선의 헤크 캐릭터에 대한 세일머 군을 L-값을 이용하여 유계화할 수 있는가?
• RQ2 이러한 유계는 초등군의 이미지에 대해 p-진 사이클 클래스 사상에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ3 자기곱에서의 CM 타원곡선에 대해 p-진 사이클 클래스 사상의 이미지 안의 토판은 어느 정도 제어될 수 있는가?
• RQ4 Kato의 명시적 상호작용과 Rubin의 주 추측 증명은 이 산술 맥락에서 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 거의 모든 소수 p에 대해, 복소 곱수를 가진 타원곡선의 자기곱에서의 초등군은 어떤 성질을 가지는가?

주요 결과

• CM 타원곡선의 그로센카라크터에 연결된 세일머 군은 관련 L-함수의 중심값에 의해 유계화된다.
• 이 유계는 복소 곱수를 가진 타원곡선의 자기곱에서 p-진 사이클 클래스 사상의 이미지 안의 토판을 효과적으로 제어할 수 있게 한다.
• 결과는 코드미너션에 관계없이 모든 초등군에 적용되며, 이는 이전에 코드미너션 1에 국한된 결과를 넘어서는 것이다.
• 유계는 곡선과 캐릭터에 따라 영향을 받는 유한한 소수 집합 외에는 모든 소수 p에 대해 유효하다.
• 이 방법은 Kato의 명시적 상호작용과 Rubin의 주 추측 증명 간의 상호작용에 의해 결정적으로 의존한다.
• 분석은 p-진 사이클 클래스 사상이 유한한 이미지를 가지며, 그 토판이 제어 가능하다는 것을 확인하며, 일반적인 산술기하학의 추측과 일치한다.