[논문 리뷰] Semi-Algebraic Proofs, IPS Lower Bounds and the $ au$-Conjecture: Can a Natural Number be Negative?

Yaroslav Alekseev, Dima Grigoriev외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 47인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 이진수로 표현된 자연수의 음수가 될 수 없음을 나타내는 이진값 원칙을 도입하고, Shub-Smale 가설과 τ-추측을 바탕으로 이상적 증명 체계(IPS)의 반증에 대해 조건부 초다항식 하한을 설정한다. 이는 짧은 IPS 반증이 대수적 증명 체계가 반대급속하게 대수적 시스템을 완전히 시뮬레이션할 수 있도록 하는 필수 조건임을 보여주며, 증명 복잡도 이론에서 대수적 추론과 반대급속하게 대수적 추론 간의 근본적인 분리를 드러낸다.

ABSTRACT

We introduce the binary value principle which is a simple subset-sum instance expressing that a natural number written in binary cannot be negative, relating it to central problems in proof and algebraic complexity. We prove conditional superpolynomial lower bounds on the Ideal Proof System (IPS) refutation size of this instance, based on a well-known hypothesis by Shub and Smale about the hardness of computing factorials, where IPS is the strong algebraic proof system introduced by Grochow and Pitassi (2018). Conversely, we show that short IPS refutations of this instance bridge the gap between sufficiently strong algebraic and semi-algebraic proof systems. Our results extend to full-fledged IPS the paradigm introduced in Forbes et al. (2016), whereby lower bounds against subsystems of IPS were obtained using restricted algebraic circuit lower bounds, and demonstrate that the binary value principle captures the advantage of semi-algebraic over algebraic reasoning, for sufficiently strong systems. Specifically, we show the following: (abstract continues in document.)

연구 동기 및 목표

• 이진수로 표현된 자연수의 음수가 될 수 없음을 나타내는 이진값 원칙의 증명 복잡도를 조사한다.
• 대수적 복잡도 이론에서 잘 알려진 추측을 바탕으로 이상적 증명 체계(IPS)의 반증에 대해 조건부 초다항식 하한을 설정한다.
• 대수적 증명 체계(예: IPS)와 반대급속하게 대수적 증명 체계(예: Positivstellensatz 및 LS∞+) 간의 관계를 명확히 하여, 어느 것이 다른 것을 시뮬레이션할 수 있는지 밝힌다.
• 합의의 제곱(SOS) 및 관련 체계의 능력을 포괄하는 강력한 반대급속하게 대수적 증명 체계인 콘 증명 체계(CPS)를 도입한다.
• IPS가 이진값 원칙을 반증할 수 있는 것이 모든 알려진 반대급속하게 대수적 증명 체계를 시뮬레이션할 수 있는 데 있어 핵심적인 조건임을 보여준다.

제안 방법

• 이진값 원칙을 부정할 수 없는 방정식 ∑_{i=1}^n 2^{i-1}x_i = -1 으로 정의하며, 여기서 x_i 는 부울 변수이다.
• 팩토리얼 계산의 어려움에 관한 Shub-Smale 가설을 사용하여 유리수 위에서의 IPS 반증에 대해 조건부 초다항식 하한을 도출한다.
• τ-추측을 활용해 유리 함수의 링 위로 분석을 확장하여, 이와 유사한 형태의 이진값 원칙에 대해 하한을 증명한다.
• 합의의 제곱 증명을 대수적 회로로 표현하는 방식으로, 대수적 회로를 통해 정의된 반대급속하게 대수적 증명 체계인 콘 증명 체계(CPS)를 정의한다.
• IPS가 정수 및 유리수 위에서 이진값 원칙에 대해 다항 크기의 반증을 허용할 때에만 CPS와 다항식으로 동치임을 증명한다.
• IPS 내에서 새로운 경우에 따른 증명 원칙을 도입하여, 부울 변수에 대한 경우 분석이 다항 크기로 시뮬레이션될 수 있음을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Shub-Smale 가설은 유리수 위에서 이진값 원칙에 대한 IPS 반증 크기에 초다항식 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ2 τ-추측은 유리 함수의 링 위에서 이진값 원칙의 변형에 대해 IPS 반증에 초다항식 하한을 유도할 수 있는가?
• RQ3 IPS가 이진값 원칙을 반증할 수 있는 능력이 모든 알려진 반대급속하게 대수적 증명 체계를 시뮬레이션할 수 있는 데 있어 필수적이고 충분한 조건인가?
• RQ4 이진값 원칙은 대수적 증명 체계와 반대급속하게 대수적 증명 체계 간의 다리 역할을 어떻게 수행하는가?
• RQ5 짧은 이진값 원칙 반증은 대수적 증명 체계의 능력이 반대급속하게 대수적 체계와 비교해 어떤지를 특징짓는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• Shub-Smale 가설 하에, Q 위에서의 이진값 원칙에 대한 IPS 반증은 초다항식 크기를 요구한다.
• τ-추측 하에, 유리 함수의 링 위에서 이진값 원칙의 변형에 대한 IPS 반증 역시 초다항식 크기를 요구한다.
• 이진값 원칙은 임계 조건으로 작용한다: IPS가 정수 및 유리수 위에서 이 원칙에 대해 다항 크기의 반증을 허용할 때에만 모든 알려진 반대급속하게 대수적 증명 체계를 시뮬레이션할 수 있다.
• 콘 증명 체계(CPS)는 합의의 제곱, SoS, LS∞+를 CNF를 부등식 형태로 표현할 때 시뮬레이션할 수 있는 강력한 반대급속하게 대수적 증명 체계로 도입된다.
• IPS가 이진값 원칙에 대해 다항 크기의 반증을 허용할 때에만 IPS는 CPS와 다항식으로 동치이다.
• IPS 내에서 새로운 경우에 따른 증명 원칙이 확립되었으며, 이는 부울 변수에 대한 경우 분석이 다항 크기로 시뮬레이션될 수 있음을 보여주며, 경우의 수를 나열하는 방식을 통해 조건부 하한을 도출할 수 있다.