[논문 리뷰] Semi-closed form solutions for barrier and American options written on a time-dependent Ornstein Uhlenbeck process

Peter Carr, Andrey Itkin|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 19.

Capital Investment and Risk Analysis참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변하는 오르nst-우렌벡(OU) 과정 하에서 바리어 옵션과 아메리칸 옵션을 가격 정하는 반폐쇄형 해법을 제시한다. 가격 정책 PDE를 변수 변환을 통해 열 방정식으로 변환하고, 수치적으로 프레드홀름 적분 방정식을 푸는 방법을 사용한다. 이 방법은 백워드 유한차분 방법보다 계산 성능이 뛰어나고, 복수의 옵션을 동시에 가격 정할 때는 프론트워드 솔버와 경쟁 가능한 높은 효율성과 정확도를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we develop a semi-closed form solutions for the barrier (perhaps, time-dependent) and American options written on the underlying stock which follows a time-dependent OU process with a log-normal drift. This model is equivalent to the familiar Hull-White model in FI, or a time dependent OU model in FX. Semi-closed form means that given the time-dependent interest rate, continuous dividend and volatility functions, one need to solve numerically a linear (for the barrier option) or nonlinear (for the American option) Fredholm equation of the first kind. After that the option prices in all cases are presented as one-dimensional integrals of combination of the above solutions and Jacobi theta functions. We also demonstrate that computationally our method is more efficient than the backward finite difference method used for solving these problems, and can also be as efficient as the forward finite difference solver while providing better accuracy and stability.

연구 동기 및 목표

• 기초 자산이 시간에 따라 변하는 OU 과정을 따를 때 바리어 옵션과 아메리칸 옵션에 대한 반폐쇄형 해법을 개발하는 것.
• 시간에 따라 변하는 평균 회귀 및 변동성 하에서 복잡한 옵션에 대한 닫힌 형식 해법의 부족을 해결하는 것.
• 기존의 표준 유한차분 방법에 비해 계산 효율성과 안정성을 향상시키는 것.
• 통합 프레임워크 내에서 시간에 따라 변하는 이자율, 배당금, 변동성, 그리고 시간에 따라 변하는 바리어를 모두 처리할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 함수 f(x,t)와 g(t)를 포함한 변수 변환을 통해 바리어 옵션의 가격 정책 PDE를 열 방정식으로 변환하는 것.
• 변환을 가능하게 하는 g(t)에 대한 상미분방정식(OED)과 w(t)에 대한 리카티 방정식을 유도하며, 일반적인 시간에 따라 변하는 파rameter에 대해 수치적으로 해를 구할 수 있도록 한다.
• 옵션 가격 정책 문제를 변환된 공간에서의 첫 번째 종류 선형 프레드홀름 적분 방정식으로 축소하는 것.
• 프레드홀름 방정식의 해와 자카비 시타 함수를 포함하는 일변수 적분으로 최종 옵션 가격을 표현하는 것.
• 아메리칸 옵션의 경우, 동일한 적분 구조를 유지하면서 비선형 프레드홀름 방정식을 반복적으로 푸는 것.
• 정확도를 향상시키기 위해 고차수 적분 규칙(예: 심프슨의 법칙)을 사용하되, 계산 복잡도를 증가시키지 않는 방식으로 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 OU 과정 하에서 바리어 옵션과 아메리칸 옵션에 대해 반폐쇄형 해법을 유도할 수 있는가?
• RQ2 모든 모델 파라미터(드리프트, 변동성, 이자율)가 시간에 따라 변할 때 가격 정책 PDE가 어떻게 열 방정식으로 변환될 수 있는가?
• RQ3 이러한 복잡한 옵션에 대해 제안된 방법의 계산 효율성은 기존의 유한차분 솔버와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 알고리즘의 구조를 변경하지 않고도 시간에 따라 변하는 바리어를 처리할 수 있는가?
• RQ5 이 방법의 정확도와 안정성은 백워드 및 프론트워드 유한차분 기법과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 같은 정확도에서 제안된 방법은 백워드 유한차분 방법보다 약 30~40배 빠르며, 프레드홀름 방정식을 푸는 데 소요되는 복잡도가 감소하기 때문이다.
• p-공간에서 M₁ = 10개의 콜로케이션 점을 사용할 경우 해가 수렴하고, 더 이상 정밀도를 높여도 결과에 영향을 주지 않아, 낮은 계산 오버헤드를 나타낸다.
• 백워드 유한차분 솔버보다 더 높은 정확도와 안정성을 확보하면서도, 복수의 옵션을 동시에 가격 정할 경우 프론트워드 유한차분 솔버와 경쟁 가능한 효율성을 제공한다.
• 이 방법의 복잡도는 주로 프레드홀름 방정식을 푸는 데에 좌지우지되, O(M₁³)의 복잡도를 가지며, 표준 유한차분 격자에서 N에 비해 M₁가 훨씬 작을 경우 유리하다.
• 자카비 시타 함수의 사용은 최종 옵션 가격을 일변수 적분으로 압축하고 안정적이며 정확하게 표현할 수 있도록 한다.
• 시간에 따라 변하는 바리어에 대해 이론적 확장이 자연스럽게 가능하며, 변환 함수 y(τ)만 수정하면 되므로 알고리즘의 구조 변경이 필요 없다.