[논문 리뷰] Semi-derived Ringel-Hall algebras and Drinfeld double

Ming Lu, Liangang Peng|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 33인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 충분한 프로젝티브 대상이 없는 경우조차도 임의의 히라치드 애벨 범주 A에 대해 반유도된 리ngle-홀 알제브라 SDH(A)를 도입한다. A 위의 Z/2-차수 복합체의 리ngle-홀 알제브라의 몫의 국소화를 통해, 비틀린 반유도된 리ngle-홀 알제브라가 A의 비틀린 확장된 리ngle-홀 알제브라의 드리플린 듀얼과 동형임을 증명한다. 주요 결과로는, A가 기울임 대상 T를 가질 경우, SDH(A)가 Bridgeland의 mod(End(T)op)의 홀 알제브라와 동형임을 보이며, 다양한 대수적 설정에서의 구성들을 통합한다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{A}$ be an arbitrary hereditary abelian category that may not have enough projective objects. For example, $\mathcal{A}$ can be the category of finite-dimensional representations of a quiver or the category of coherent sheaves on a smooth projective curve or on a weighted projective line. Inspired by the works of Bridgeland and Gorsky, we define the semi-derived Ringel-Hall algebra of $\mathcal{A}$, denoted by $\mathcal{S}\mathcal{D}\mathcal{H}_{\mathbb{Z}/2}(\mathcal{A})$, to be the localization of a quotient algebra of the Ringel-Hall algebra of the category of $\mathbb{Z}/2$-graded complexes over $\mathcal{A}$. We obtain the following three main results. The semi-derived Ringel-Hall algebra has a natural basis. A twisted version of the semi-derived Ringel-Hall algebra of $\mathcal{A}$ is isomorphic to the Drinfeld double of the twisted extended Ringel-Hall algebra $\mathcal{H}_{tw}^e(\mathcal{A})$ of $\mathcal{A}$. If $\mathcal{A}$ has a tilting object $T$, then its semi-derived Ringel-Hall algebra is isomorphic to the $\mathbb{Z}/2$-graded semi-derived Hall algebra $\mathcal{S}\mathcal{D}\mathcal{H}_{\mathbb{Z}/2}(\mathrm{add} T)$ of the exact category $\mathrm{add} T$ defined by Gorsky, and so is isomorphic to Bridgeland's Hall algebra of $\mod (\mathrm{End}(T)^{op})$.

연구 동기 및 목표

• 충분한 프로젝티브 대상이 없는 히라치드 애벨 범주로 반유도된 홀 알제브라의 구성 확장하기.
• 프로젝티브 생성자를 갖지 않는 범주로 브리지랜드 및 고르스키의 반유도된 홀 알제브라의 구성 일반화하기.
• 비틀린 반유도된 리ngle-홀 알제브라와 확장된 리ngle-홀 알제브라의 드리플린 듀얼 사이의 구조적 동형성 확립하기.
• 기울임 대상 T가 존재할 경우, A의 반유도된 홀 알제브라가 Bridgeland의 mod(End(T)op)의 홀 알제브라와 동형임을 보여주기.
• Z/2-차수 복합체를 기반으로 한 동일한 프레임워크를 통해 표현 이론에서의 다양한 홀 알제브라 구성 통합하기.

제안 방법

• A 위의 Z/2-차수 복합체의 리ngle-홀 알제브라의 몫 대수의 국소화로 반유도된 리ngle-홀 알제브라 SDH(A)를 정의한다.
• Z/2-차수 복합체의 범주 CZ/2(A)를 사용하고, 이 설정에서 순환 복합체의 호모로지적 성질을 연구한다.
• 양자 토러스 TZ/2,ac(A)와 AZ/2,ac(A)-이중모듈러 MZ/2(A)를 도입하여 반유도된 홀 알제브라의 대수적 구조를 정의한다.
• SDH(A)의 비틀린 버전을 구성하고, 이가 비틀린 확장된 리ngle-홀 알제브라 He_tw(A)의 드리플린 듀얼과 동형임을 증명한다.
• 기울임 이론을 적용하여 T가 A의 기울임 대상일 경우 SDH(A)를 add T의 범주와 연결한다.
• 순환 복합체에서의 국소화와 프로젝티브 모듈러의 범주와 add T 사이의 동형을 이용하여 최종 동형을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충분한 프로젝티브 대상이 없는 히라치드 애벨 범주에 대해 반유도된 리ngle-홀 알제브라를 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 범주에서 비틀린 반유도된 리ngle-홀 알제브라가 확장된 리ngle-홀 알제브라의 드리플린 듀얼과 동형인가?
• RQ3 A에 기울임 대상 T가 존재할 경우, SDH(A)가 Bridgeland의 mod(End(T)op)의 홀 알제브라와 동형이 되는가?
• RQ4 프로젝티브 생성자가 없는 경우, A의 반유도된 홀 알제브라가 고르스키가 정의한 Z/2-차수 반유도된 홀 알제브라와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 확장된 리ngle-홀 알제브라의 드리플린 듀얼이 반유도된 홀 알제브라 구성으로서 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 반유도된 리ngle-홀 알제브라 SDH(A)는 A 위의 Z/2-차수 복합체의 대상들의 동형류로 자연스러운 기저를 가진다.
• A의 비틀린 반유도된 리ngle-홀 알제브라가 비틀린 확장된 리ngle-홀 알제브라 He_tw(A)의 드리플린 듀얼과 동형이다.
• A가 기울임 대상 T를 가질 경우, SDH(A)는 고르스키가 정의한 add T의 Z/2-차수 반유도된 홀 알제브라와 동형이다.
• Λ = End(T)op가 히라치드 대수일 경우, SDH(A) ≃ SDH(mod Λ)이며, He_tw(A)의 드리플린 듀얼은 He_tw(mod Λ)의 드리플린 듀얼과 동형이다.
• 가중 프로젝티브 직선 위의 정합성 층의 범주에 대해, 비틀린 반유도된 홀 알제브라 SDHZ/2,tw(mod Λ)는 브리지랜드의 홀 알제브라 DH(mod Λ)와 동형이며, He_tw(A)의 드리플린 듀얼과도 동형이다.
• A가 충분한 프로젝티브 대상을 갖지 않더라도, 기울임 동치를 통해 SDH(A)와 브리지랜드의 홀 알제브라 사이의 동형이 성립한다.