[논문 리뷰] Semi-global weak stabilization of bilinear Schrödinger equations

Karine Beauchard, Vahagn Nersesyan|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 25.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 제어 리아프노프 함수에 기반한 명시적 피드백 법칙을 사용하여 이중선형 슈뢰딩거 방정식의 지상 상태로에 대한 준국소적 약한 안정성을 확립한다. PDE에 대해 라살 라이너던 원리의 변형을 적용함으로써, 스펙트럼과 제어 결합에 대한 일반적인 공진 회피 조건 하에서, $ t \to \infty $ 일 때 전체 해 궤도가 $ H^2 $ 에서 지상 상태로 약하게 수렴한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a linear Schrödinger equation, on a bounded domain, with bilinear control, representing a quantum particle in an electric field (the control). Recently, Nersesyan proposed explicit feedback laws and proved the existence of a sequence of times $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ for which the values of the solution of the closed loop system converge weakly in $H^2$ to the ground state. Here, we prove the convergence of the whole solution, as $t ightarrow + \infty$. The proof relies on control Lyapunov functions and an adaptation of the LaSalle invariance principle to PDEs.

연구 동기 및 목표

• 유계 영역에서 이중선형 슈뢰딩거 방정식의 지상 상태에 대한 $ H^2 $ 에서의 점근적 약한 안정성을 달성하기 위해.
• 이전 연구들이 시간의 수열을 따라 약한 수렴만을 확보한 데서 벗어나, $ t \to \infty $ 에서의 전체 수렴을 확보하기 위해.
• 단위 구면 $ H^1_0 \cap H^2 $ 에서의 거의 모든 초기 상태에 대해 수렴을 보장하는 피드백 법칙을 개발하기 위해.
• 피드백 제어를 갖는 무한차원 PDE 시스템에 대해 라살 라이너던 원리를 적응시키기 위해.
• 폐쇄 루프 시스템의 $\omega$-극한 집합이 지상 상태 다양체 $\mathcal{C}$ 와 일치하는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 제어 리아프노프 함수 $\mathcal{V}(z) = 1 - |\langle z, e_{1,V} \rangle|^2$ 를 사용하여 지상 상태로부터의 거리를 측정한다.
• 약한 수렴을 갖는 무한차원 시스템에 대해 수정된 라살 라이너던 원리의 버전을 적용한다.
• 유계 영역에서의 소볼레프 공간의 컴팩트 임bedding을 이용하여 순차적 약한 수렴과 비선형 항에서의 극한 취급을 보장한다.
• 피드백 제어 입력 $u[\mathcal{U}_t(z)] \to 0$ 이 거의 모든 시간에 대해 수렴함을 증명함으로써, 한계 상태가 비제어 동역학에 대해 불변임을 보여준다.
• 약한-$H^2$ 순차적 컴팩트성과 해의 유일성을 이용하여, 임의의 약한 극한점이 반드시 지상 상태 다양체 $\mathcal{C}$ 에 속해 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중선형 슈뢰딩거 방정식에서 시간의 수열을 따라의 약한 수렴을 $ t \to \infty $ 에서의 전체 수렴으로 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼과 제어 결합 조건이 라살 라이너던 원리에 의해 $ H^2 $ 에서 지상 상태로의 안정성을 보장하기 위해 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 명시적 피드백을 통해 해 궤도의 전체 부분이 지상 상태로 약하게 수렴하도록 보장할 수 있는가?
• RQ4 비선형 피드백을 갖는 무한차원 PDE 시스템에 대해 라살 라이너던 원리를 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 잠재력 $V$, 제어 연산자 $Q$, 시스템 스펙트럼에 어떤 조건이 성립하면 $\omega$-극한 집합이 지상 상태 다양체 $\mathcal{C}$ 와 일치하는가?

주요 결과

• 조건 0.1 하에서, $\mathcal{C}$ 에 속하지 않는 모든 초기 상태 $z_0 \in S \cap H^1_0 \cap H^2$ 에 대해, 해 $\mathcal{U}_t(z_0)$ 는 $ t \to \infty $ 일 때 $ H^2 $ 에서 $\mathcal{C}$ 로 약하게 수렴함을 증명한다.
• 이 수렴은 $ H^2 $ 에서 준국소적으로 성립하며, 이는 $ H^1_0 \cap H^2 $ 의 단위 구면에 속한 모든 초기 상태에 대해, 단지 목표 다양체 $\mathcal{C}$ 에 속하는 상태를 제외하고 성립함을 의미한다.
• 피드백 법칙은 제어 입력 $u[\mathcal{U}_t(z)]$ 가 거의 모든 시간에 대해 0으로 수렴함을 보장하며, 이는 한계 상태의 불변성을 증명하는 데 핵심적이다.
• 해 궤도의 $\omega$-극한 집합이 $\mathcal{C}$ 에 포함됨을 보여주며, 제어가 한계에서 사라지므로 상태는 슈뢰딩거 연산자의 고유상태여야 한다.
• 증명은 제어가 0일 때 폐쇄 루프 동역학에서 불변인 상태가 오직 $\mathcal{C}$ 에 속한 상태, 즉 지상 상태 $e_{1,V}$ 의 배수뿐이라는 사실에 기반한다.
• 결과는 $\alpha \in (0, \alpha^*)$ 에 대해 성립하며, 측도가 0인 이산 집합 $J \subset \mathbb{R}_+^*$ 를 제외한 모든 경우에 대해 성립한다. 이 집합은 수렴에 영향을 주지 않는다.