[논문 리뷰] Semi-group structure of all endomorphisms of a projective variety admitting a polarized endomorphism

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 21인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 극화된 또는 int-강한 엔도모르피즘을 갖는 사영적 다양체가 유한한 수의 수축 가능 극값 레이를 가지며, 전체 엔도모르피즘 모노이드의 유한지수 부분모노이드 작용 하에서 등변 최소 모형 프로그램(equivariant minimal model program, MMP)을 갖는다는 것을 증명한다. 주요 결과로는 엔도모르피즘 작용이 네론-세베르 그룹 위에서 대각화 가능하다는 것, 자동형사군의 성분이 유한하다는 것, 그리고 유리적으로 연결된 경우에 강화된(endomorphism)과 int-강한 엔도모르피즘이 동치라는 것이다.

ABSTRACT

Let $X$ be a projective variety admitting a polarized (or more generally, int-amplified) endomorphism. We show: there are only finitely many contractible extremal rays; and when $X$ is $\mathbb{Q}$-factorial normal, every minimal model program is equivariant relative to the monoid $SEnd(X)$ of all surjective endomorphisms, up to finite index. Further, when $X$ is rationally connected and smooth, we show: there is a finite-index submonoid $G$ of $SEnd(X)$ such that $G$ acts via pullback as diagonal (and hence commutative) matrices on the Neron-Severi group; the full automorphisms group $Aut(X)$ has finitely many connected components; and every amplified endomorphism is int-amplified.

연구 동기 및 목표

• 극화된 또는 int-강한 엔도모르피즘을 갖는 사영적 다양체의 엔도모르피즘 모노이드의 구조를 이해하는 것.
• K_X가 Q-Cartier가 아니라는 가정 없이도 이러한 다양체가 유한한 수의 수축 가능 극값 레이만 가진다는 것을 증명하는 것.
• 모든 유한한 최소 모형 프로그램(MMP) 단계가 전체 엔도모르피즘 모노이드의 유한지수 부분모노이드 작용에 대해 등변적임을 확립하는 것.
• 유리적으로 연결된 매끄러운 다양체의 경우, 자동형사군이 유한한 연결 성분을 가지며, 모든 강화된 엔도모르피즘이 반드시 int-강한 엔도모르피즘임을 보이는 것.
• 유한지수 부분모노이드가 네론-세베르 그룹 위에 작용할 때 그 작용이 대각화 가능하고 교환 가능하다는 것을 보이는 것.

제안 방법

• 극화된 또는 int-강한 엔도모르피즘의 존재를 이용해 닫힌 유효 1-사이클 콘 내의 극값 레이의 역학을 제어하는 것.
• 로그 칼라인 쌍에 대한 콘 정리와 플립의 존재를 적용하여 극값 수축의 구조를 분석하는 것.
• MMP 전반에 걸쳐 등변적으로 작용하는 SEnd(X)의 유한지수 부분모노이드 G를 구성하여 각 단계를 통해 엔도모르피즘의 내림을 보장하는 것.
• Q-아벨 다양체 Y 위에서의 상대 MMP를 활용하며, 아벨 다양체 A로부터 유한한 준에탈 갈로아 코버리지를 사용하는 것.
• 고유값 분석과 표현 이론을 이용해 네론-세베르 그룹 위의 역상 작용을 분석하여 대각화 가능성을 보이는 것.
• 자기동형사상의 경우 어떤 거듭제곱이 NS_Q(X) 위에서 자명하게 작용하므로, Aut(X)/Aut_0(X)의 성분군의 유한성을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 극화된 또는 int-강한 엔도모르피즘을 갖는 사영적 다양체는 K_X가 Q-Cartier가 아니더라도 유한한 수의 수축 가능 극값 레이만 갖는가?
• RQ2 전체 최소 모형 프로그램(MMP)은 엔도모르피즘 모노이드 SEnd(X)의 작용 하에 유한지수까지 등변적으로 만들 수 있는가?
• RQ3 SEnd(X)의 유한지수 부분모노이드 작용이 네론-세베르 그룹 위에서 대각화 가능하고 교환 가능한가?
• RQ4 유리적으로 연결된 매끄러운 경우, 모든 강화된 엔도모르피즘이 반드시 int-강한 엔도모르피즘인가?
• RQ5 이러한 다양체의 자동형사군은 유한한 연결 성분을 가지는가?

주요 결과

• 극화된 또는 int-강한 엔도모르피즘을 갖는 사영적 다양체는 K_X가 음성인지 여부에 관계없이 유한한 수의 수축 가능 극값 레이만 갖는다.
• Q-팩터리얼 정규 다양체의 경우, 임의의 유한한 MMP 단계는 SEnd(X)의 유한지수 부분모노이드 G에 대해 등변적이다.
• 유리적으로 연결된 매끄러운 경우, SEnd(X)의 유한지수 부분모노이드 G가 존재하여, 모든 g ∈ G가 NS_Q(X) 위에서 대각선에 양의 정수를 갖는 대각행렬로 작용한다.
• 자기동형사군 Aut(X)는 유한한 연결 성분을 가지며, Aut_0(X)는 선형 대수적 군이다.
• 유리적으로 연결된 매끄러운 사영적 다양체에서 int-강한 엔도모르피즘을 갖는 경우, 모든 강화된 엔도모르피즘은 반드시 int-강한 엔도모르피즘이다.
• 모든 h ∈ SEnd(X)에 대해 h^M의 NS_C(X) 위 작용은 대각화 가능하며, (h^M)^* = (g_1^*)^{-1} ∘ g_2^* 를 만족하는 g_1, g_2 ∈ G ∩ IAmp(X) 가 존재한다.