[논문 리뷰] Semi-implicit energy-preserving numerical schemes for stochastic wave equation via SAV approach

Jianbo Cui, Jialin Hong외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 29.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 비선형성과 곱셈형 소음을 갖는 스토크라스틱 웨이브 방정식을 위한 반암시적이고 에너지 보존 수치적 방법을 제안한다. 스토크라스틱 스칼라 보조변수(SAV) 접근법을 사용하여 방정식을 고차원 시스템으로 재구성함으로써, 방법은 명시적 해법이 가능하고 수정된 에너지 진동 법칙을 유지하며, 시간에 대해 강한 수렴 차수 1과 최적의 공간 수렴 속도를 달성한다. 이는 비선형 스토크라스틱 웨이브 방정식에 대해 이러한 결과를 처음으로 이룬다.

ABSTRACT

In this paper, we propose and analyze semi-implicit numerical schemes for the stochastic wave equation (SWE) with general nonlinearity and multiplicative noise. These numerical schemes, called stochastic scalar auxiliary variable (SAV) schemes, are constructed by transforming the considered SWE into a higher dimensional stochastic system with a stochastic SAV. We prove that they can be solved explicitly and preserve the modified energy evolution law and the regularity structure of the original system. These structure-preserving properties are the keys to overcoming the mutual effect of the noise and nonlinearity. By proving new regularity estimates of the introduced SAV, we establish the strong convergence rate of stochastic SAV schemes and the further fully-discrete schemes with the finite element method in spatial direction. To the best of our knowledge, this is the first result on the construction and strong convergence of semi-implicit energy-preserving schemes for nonlinear SWE.

연구 동기 및 목표

• 초선형 계수와 곱셈형 소음을 갖는 비선형 스토크라스틱 웨이브 방정식에 대해 명시적이고 에너지 보존 수치적 방법이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 에너지 보존 방법에서의 암시적 해법 부담과 명시적 방법의 발산 문제를 극복하기 위해.
• 시간과 공간 양쪽에서 반암시적이고 구조 보존 수치적 방법의 강한 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 랜덤 효과 하에서 평균 에너지 진동 법칙을 보존하는 스토크라스틱 SAV 재구성법을 개발하기 위해.
• 수렴 분석을 가능하게 하기 위해 스토크라스틱 보조변수에 대한 엄밀한 정규성 추정을 제공하기 위해.

제안 방법

• 에너지 함수를 분리하기 위해 스토크라스틱 웨이브 방정식을 스토크라스틱 스칼라 보조변수를 사용한 고차원 시스템으로 변환한다.
• SAV 재구성 시스템에 대해 지수형 룬게-쿠타 및 표준 룬게-쿠타 방법을 기반으로 한 반암시적 시간 스킴을 구성한다.
• 공간 유한요소법을 적용하여 완전 이산화 스킴을 도출하고 안정성과 일致성을 확보한다.
• 제안된 스킴이 수정된 에너지 진동 법칙과 원래 시스템의 정규성 구조를 유지함을 증명한다.
• 소음과 비선형성의 상호작용을 다룰 수 있도록 스토크라스틱 보조변수에 대한 새로운 정규성 추정을 수립한다.
• 횔더 부등식, 트레이스 추정, 공간 투영 오차 경계를 사용하여 시간과 공간 양쪽에서 강한 수렴 속도를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 스토크라스틱 웨이브 방정식에 대해 명시적으로 해법이 가능하고 에너지 보존이 가능한 반암시적 수치적 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 스토크라스틱 SAV 접근법은 소음과 비선형성의 상호 영향을 어떻게 다루어 에너지 진동 법칙을 보존하는가?
• RQ3 제안된 스토크라스틱 SAV 스킴의 시간 및 공간 강한 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 스토크라스틱 보조변수가 수렴 분석을 지원하기에 충분한 정규성을 갖는다고 보여줄 수 있는가?
• RQ5 이론적으로 예측한 바와 같이, 가산형 소음의 경우 선형 에너지 성장을 유지하는가?

주요 결과

• 제안된 스토크라스틱 SAV 스킴은 명시적으로 해법이 가능하고 수정된 에너지 진동 법칙을 보존하여 전통적 명시적 방법의 강한 발산 문제를 해결한다.
• 스킴은 시간에 대해 강한 수렴 차수 1을 달성하였으며, 시간 오차의 로그-로그 플롯을 통한 수치적 확인이 이루어졌다.
• 공간 수렴 속도는 최적이며, 오차가 $ Ch^{eta_1} $ 으로 유계이며, 충분한 정규성 조건 하에서 $ eta_1 o 2 $ 로 수렴한다.
• 가산형 소음의 경우, 평균 이산 에너지가 시간에 따라 선형적으로 증가하며 이는 이론적 예측과 일치한다.
• 기대 에너지 오차는 $ |err_0| + Ch^{eta_1} + C( au + h^{2eta/3}) $ 로 유계이며, 시간과 공간 양쪽에서 수렴함을 확인한다.
• 본 연구는 곱셈형 소음을 갖는 비선형 스토크라스틱 웨이브 방정식에 대해 반암시적이고 에너지 보존 스킴을 적용한 첫 번째 강한 수렴 결과를 제시한다.