[논문 리뷰] Semi-infinite Schubert varieties and quantum K-theory of flag manifolds

Alexander Braverman, Michael Finkelberg|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 기반 쿼어지맵을 통해 플래그 다양체로의 반무한 슈베르트 다양체를 모델링한 경우, 그 정규성, 고렌스타인 성질, 그리고 유리 특이성을 확립하고, 그 등변 특성 함수가 양자 차분 Toda 방정식의 페르미온 공식 형태를 만족함을 증명함으로써, 단순 루트 시스템을 갖는 리 대수에 대해 랑글랜즈 쌍대 양자군을 통한 플래그 다양체의 양자 K-이론에 대한 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Let g be a semi-simple Lie algebra. In this paper we study the spaces of based quasi-maps from the projective line P^1 to the flag variety of g (it is well-known that their singularities are supposed to model the singularities of the so called semi-infinite Schubert varieties which are hard to define directly). In the first part of the paper we show that the above spaces are normal and in the case when g is simply laced they are also Gorenstein and have rational singularities. In the second part of the paper we compute the character of the ring of functions on the above spaces; in view of the above results this computation can be thought of as a computation of the (equivariant) K-theoretic J-function of the flag variety of g. We show that when g is simply laced the above characters satisfy the "fermionic recursion" version of the difference quantum Toda lattice (due to B.Feigin, E.Feigin, M.Jimbo, T.Miwa and E.Mukhin). As a byproduct we show that the equivariant K-theoretic J-function of the flag variety of a simply laced Lie algebra g is the universal eigen-function of the difference quantum Toda lattice, thus proving a conjecture of Givental and Lee. Some modification of this result is also shown to hold for non-simply laced g. We also discuss an extension of the above results to the case when g is an affine Lie algebra (this extension is conjectural except when g=sl(N)).

연구 동기 및 목표

• 기반 쿼어지맵의 공간이 반무한 슈베르트 다양체를 모델링하는 플래그 다양체에 대해 특이성을 연구한다.
• 이러한 공간들이 정규적임을 증명하고, 리 대수가 단순 루트 시스템을 갖는 경우 고렌스타인이며 유리 특이성을 가짐을 보인다.
• 이 공간들의 좌표환의 특성을 계산하고, 이를 양자 K-이론 불변량과 연관시킨다.
• 플래그 다양체의 양자 K-이론과 랑글랜즈 쌍도 양자군 간의 관계를 페르미온 공식으로 연결하는 추측을 검증한다.
• 일부 가정 하에 이 결과들을 아핀 리 대수의 경우로 확장한다.

제안 방법

• 기본 쿼어지맵의 차수 $ \beta $ 를 매개변수로 하는 아핀 스킴 $ Z^\beta_{\frak{g}} $ 를 정의한다. 이는 $ \bb{P}^1 $ 에서 플래그 다양체 $ \frak{B}_{\frak{g}} $ 로의 기반 쿼어지맵을 매개변수화한다.
• 기하학적 분할 $ \bigsqcup_{0 \to \beta \to \beta} \frak{M}^{\beta}_{\frak{g}} \times \operatorname{Sym}^{\alpha - \beta}(\bb{C} - \infty) $ 을 사용하여 $ Z^\beta_{\frak{g}} $ 의 기하학을 분석한다.
• 안정 사상에서의 콘체비치 모듈리 공간 $ M^\beta_{\frak{g}} $ 를 이용해 특이점의 해소를 구성한다. 이는 $ \frak{B}_{\frak{g}} \times \bb{P}^1 $ 으로의 차수 $ (\beta,1) $ 인 안정 사상과 기반 조건을 포함한다.
• 기본층 $ \mathcal{O}_{M^\beta_{\frak{g}}} $ 의 $ T \times \bb{C}^* $-등변 푸시포워드를 계산하여 생성함수 $ \mathfrak{J}_{\beta}(z,q) $ 를 얻는다.
• 재귀식 $ \mathcal{J}_{\alpha} = \sum_{0 \leq \beta \leq \alpha} \frac{q^{(\beta,\beta)/2} z^{\beta^*}}{(q)_{\alpha - \beta}} \mathcal{J}_{\beta} $ 을 사용하여 $ \mathfrak{J}_{\beta} $ 가 양자 차분 Toda 방정식의 페르미온 공식 형태를 만족함을 증명한다.
• 비단순 루트 시스템을 갖는 $ \frak{g} $ 에 대해, 단순 루트 시스템을 갖는 덮개 $ \frak{g}' $ 의 쿼어지맵 공간에서 $ \sigma $-불변 부분공간을 통해 스킴 $ \widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}} $ 를 구성하고, $ \mathcal{J}_{\bar{\alpha}} = \mathbb{C}[\widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}}] $ 를 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기반 쿼어지맵의 공간 $ Z^\alpha_{\frak{g}} $ 는 정규적이고, 유리 특이성을 갖는가?
• RQ2 좌표환 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ 의 특성은 양자 차분 Toda 방정식의 페르미온 공식 형태를 만족하는가?
• RQ3 플래그 다양체 $ \frak{B}_{\frak{g}} $ 의 양자 K-이론은 랑글랜즈 쌍도 양자군 $ U_q(\check{\frak{g}}) $ 를 통해 기술될 수 있으며, 이는 비단순 루트 시스템을 갖는 $ \frak{g} $ 에 대해서도 성립하는가?
• RQ4 쿼어지맵의 기하학은 양자군의 표현 이론과 위트너 백터와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 생성함수 $ \mathcal{J}_\alpha $ 는 $ T \times \bb{C}^* $-등변 코homology 또는 $ K $-이론의 기하학적 실현으로 어떻게 표현되는가?

주요 결과

• 모든 단순 리 대수 $ \frak{g} $ 와 모든 $ \alpha \in \Lambda_+ $ 에 대해, 공간 $ Z^\alpha_{\frak{g}} $ 와 $ \mathcal{QM}^\alpha_{\frak{g}} $ 는 정규적이다.
• 리 대수가 단순 루트 시스템을 갖는 경우, $ Z^\alpha_{\frak{g}} $ 는 고렌스타인이며 유리 특이성을 가지며, 이는 코hen-맥컬레이 성질을 암시한다.
• $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ 의 $ T \times \bb{C}^* $-등변 특성의 생성함수 $ \mathfrak{J}_\alpha(z,q) $ 는 양자 차분 Toda 방정식의 페르미온 공식 형태를 만족한다.
• 단순 루트 시스템을 갖는 $ \frak{g} $ 에 대해, 특성 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ 는 $ \mathfrak{J}_\alpha $ 와 일치하며, 이는 플래그 다양체 $ \frak{B}_{\frak{g}} $ 의 양자 K-이론에 대한 추측을 확인한다.
• 비단순 루트 시스템을 갖는 $ \frak{g} $ 에 대해, 특성 $ \mathbb{C}[Z^\alpha_{\frak{g}}] $ 는 $ \mathfrak{J}_\alpha $ 와 다를 수 있으며, 이는 접히는 리 대수 $ \frak{g}' $ 와 $ \sigma $-불변 부분공간을 포함하는 추측의 수정이 필요함을 시사한다.
• $ \sigma $-고정점의 폐포로 구성된 스킴 $ \widehat{Z}^{\bar{\alpha}}_{\frak{g}} $ 는 $ \mathcal{J}_{\bar{\alpha}} $ 를 그 $ T \times \bb{C}^* $-등변 특성으로 실현한다.