[논문 리뷰] Semi-isometric CR immersions of CR manifolds into K\"ahler manifolds and applications

Duong Ngoc Son|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 22.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 25인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 히르베르트 공간에 대한 K"ahler 다양체로의 반-등각 CR 임bedding을 연구하며, 제2 기본형과 평균 곡률에 중점을 두고 있다. 실수 초표면에서의 CR 우비티컬리티에 대한 정확한 조건을 설정하고, 3차원 CR 다양체로의 선형성 정리의 일반화를 수행하며, Kohn 라플라시안의 첫 번째 양의 고유값을 이용하여 저codimension 임베딩에 대한 '첫 번째 갭' 정리를 증명한다.

ABSTRACT

We study the second fundamental form of semi-isometric CR immersions from strictly pseudoconvex CR manifolds into K\"ahler manifolds. As an application, we give a precise condition for the CR umbilicality of real hypersurfaces, extending an well-known theorem by Webster on the nonexistence of CR umbilical points on generic real ellipsoids. As other applications, we extend the linearity theorem of Ji-Yuan for CR immersions into spheres with vanishing second fundamental form to the important case of three-dimensional manifolds, and prove the ``first gap'' theorem in the spirit of Webster, Faran, Cima-Suffridge, and Huang for semi-isometric CR immersions into a complex euclidean space of ``low'' codimension. Our new approach to the linearity theorem is based on the study of the first positive eigenvalue of the Kohn Laplacian.

연구 동기 및 목표

• K"ahler 다양체 내 실수 초표면에서의 CR 우비티컬리티 점을 특성화하여, 웹스터의 일반 타원체에서의 존재하지 않음 결과를 일반화한다.
• 구형으로의 CR 임베딩에 대한 Ji-Yuan 선형성 정리를 3차원 CR 다양체의 경우로 확장한다.
• 저codimension 임베딩에 대한 '첫 번째 갭' 정리를 반-등각 CR 임베딩에 대해 수립한다.
• 제곱 평균 곡률 |H|²를 정의 함수의 횡방향 곡률과 연결하고, 이를 통해 Kohn 라플라시안의 첫 번째 양의 고유값을 경계한다.
• 적절한 전역 조건 하에서 추적 없는 제2 기본형을 가진 반-등각 CR 임베딩은 선형임을 증명한다.

제안 방법

• M 위의 미분형식 θ와 X 위의 K"ahler 형식 ω에 대해 조건 dθ = F*ω를 통해 반-등각 CR 임베딩을 정의한다.
• Chern 및 Tanaka-Webster 접속을 포함하는 가우스 공식을 이용해 의사유니폼 제2 기본형 II를 도입한다.
• Levi 메트릭에 대해 II의 추적을 통해 (1,0)-평균 곡률 벡터 H를 정의하고, |H|²를 곡률 양으로 연구한다.
• 콤���트 CR 다양체에서 Kohn 라플라시안 □b를 사용하고, Li-Son L²-추정(정리 1.1)을 적용하여 그 첫 번째 양의 고유값 λ1을 경계한다.
• λ1 경계에서 등호가 성립하는 조건을 특성화하여, |H|²가 일정하고 등호가 성립할 경우 F가 선형임을 유도한다.
• CR 연장 정리와 멱급수 전개를 사용하여, □b의 λ1에 대응하는 고유함수는 선형 또는 상수이어야 하며, 이는 F의 선형성을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반-등각 CR 임베딩이 K"ahler 다양체로 이루어질 때, 추적 없는 제2 기본형을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Kohn 라플라시안의 첫 번째 고유값이 Li-Son 부등식의 상한에 도달할 경우, 어떤 조건에서 CR 다양체가 구와 전역적으로 CR 동치가 되는가?
• RQ3 K"ahler 다양체 내 실수 초표면에서의 CR 우비티컬리티에 대한 정확한 조건은 무엇이며, 웹스터의 존재하지 않음 결과는 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 구로의 임베딩을 실현하지 않는다는 가정 없이, 구로의 임베딩에 대한 선형성 정리를 3차원 CR 다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ5 저codimension 임베딩에서 추적 없는 제2 기본형이 사라지기 위해 N ≤ 2n 조건이 필수적인가?

주요 결과

• 적절한 정의 함수 ρ를 선택할 경우, 제곱 평균 곡률 |H|²는 정의 함수 ρ의 횡방향 곡률 r(ρ)와 일치하며 기하학적 및 해석적 불변량을 연결한다.
• Li-Son L²-추정(정리 1.1)은 Kohn 라플라시안의 첫 번째 양의 고유값 λ1에 대한 상한을 |H|²의 L² 노름에 따라 제공한다.
• λ1 경계에서 등호가 성립하고 |H|²가 일정할 경우, 각 bI := □bF^I는 상수 또는 λ1에 대한 고유함수이다.
• 3차원 콤팩트 엄밀히 준볼록 CR 다양체에서 T^{1,0}M 위에서 제2 기본형이 0이면, F는 선형이며 M은 S^3과 CR 동치이다.
• 복소 웨이트니 맵 W_n은 정리 1.2 및 1.5에서 N ≤ 2n 조건이 필수적임을 보여주는 반례를 제공한다. 이는 N > 2n일 경우 비자명한 우비티컬리티 점을 가진다.
• 환경 공간이 평탄하고 M이 CR 구형인 경우, 추적 없는 제2 기본형 II◦는 식별적으로 0이 되며, 이는 정리 1.2에 의해 선형성을 이끈다.