[논문 리뷰] Semi-linear Backward Stochastic Integral Partial Differential Equations driven by a Brownian motion and a Poisson point process

Shaokuan Chen, Shanjian Tang|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동과 포아송 점 과정에 의해 구동되는 반선형 후행 확률적 적분 편미분방정식(BSIPDEs)의 고전적 해에 대한 확률적 표현을 수립한다. 확률적 흐름의 역과 점프를 동반한 후행 SDE의 해를 조합하여, 저자들은 적절한 계수의 정규성 및 적분 가능성 조건 하에서 존재성과 유일성을 보장하는 확률적 파이만-카프 공식을 유도한다.

ABSTRACT

In this paper we investigate classical solution of a semi-linear system of backward stochastic integral partial differential equations driven by a Brownian motion and a Poisson point process. By proving an Itô-Wentzell formula for jump diffusions as well as an abstract result of stochastic evolution equations, we obtain the stochastic integral partial differential equation for the inverse of the stochastic flow generated by a stochastic differential equation driven by a Brownian motion and a Poisson point process. By composing the random field generated by the solution of a backward stochastic differential equation with the inverse of the stochastic flow, we construct the classical solution of the system of backward stochastic integral partial differential equations. As a result, we establish a stochastic Feynman-Kac formula.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동과 포아송 점 과정에 의해 구동되는 반선형 후행 확률적 적분 PDE 시스템의 고전적 해의 존재성과 유일성을 수립하는 것.
• 전진 및 후행 SDE의 점프를 포함한 확률적 흐름의 역과 후행 SDE를 통해 해의 확률적 해석을 제공하는 것.
• 점프 확산의 경우로까지 확률적 파이만-카프 공식을 확장하는 것.
• 확산 성분만을 고려하는 경우를 넘어서 점프 측도와 보정된 포아송 랜덤 측도를 포함한 BSPDE에 대한 확률적 접근을 일반화하는 것.

제안 방법

• 브라운 운동과 포아송 노이즈의 병합된 영향을 고려하여 확률적 흐름의 역학을 다루기 위해 점프 확산에 대한 이토-웬첼 공식을 유도한다.
• 브라운 운동과 포아송 점 과정에 의해 구동되는 SDE의 역 확률적 흐름을 구성하며, 적절한 조건 하에서 그 정규성을 보장한다.
• 후행 SDE의 해와 역 흐름을 조합하여 BSIPDE 시스템의 고전적 해를 생성한다.
• 해성분의 정규성과 적응성 보장을 위해 추상적 결과를 확률적 진화방정식에 적용한다.
• 조합된 과정의 SPDE 역학을 도출하기 위해 이토-웬첼 공식을 사용하며, 이 과정이 목표 BSIPDE를 만족함을 검증한다.
• 고전적 해의 충분한 공간적 정규성을 확보하기 위해 조건 (C5)_{k+1}과 (C6)을 도입하며, k > 2 + n/2 조건을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운 운동과 포아송 점 과정에 의해 구동되는 반선형 BSIPDE에 대해 고전적 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 전진 및 후행 SDE의 점프를 포함하여, 이러한 BSIPDE의 해를 어떻게 확률적으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 점프 확산과 포아송 랜덤 측도가 존재하는 상황에서 확률적 파이만-카프 공식이 성립하는가?
• RQ4 계수의 정규성 및 적분 가능성 조건은 고전적 해의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 어떤 조건을 필요로 하는가?

주요 결과

• BSIPDE의 해 (p, q, r)는 p(t,x) = Y_t(X_t^{-1}(x)), q(t,x) = Z_t(X_{t-}^{-1}(x)) - ∂p(t-,x)σ(t,x), 그리고 r(t,e,x) = p(t-,ϕ_{t,e}^{-1}(x)) - p(t-,x) + U_t(e, X_{t-}^{-1}(ϕ_{t,e}^{-1}(x))) 로 구성된다.
• 조건 (C5)_{k+1}과 (C6)을 k > 2 + n/2 조건 하에서 만족할 경우, 구성된 삼중항 (p,q,r)는 BSIPDE (1.1)의 고전적 해가 된다.
• 해는 적응 과정의 관점에서 BSIPDE를 만족하며, 이토-웬첼 공식을 통해 드리프트, 확산, 점프 성분이 적절히 고려된다.
• 고전적 해의 유일성은 역 흐름과 후행 SDE 성분을 통해 어떤 고전적 해도 구성된 해와 일치해야 한다는 점을 보여줌으로써 확립된다.
• 논문은 BSIPDE의 해에 대한 확률적 파이만-카프 공식을 증명하며, 이를 전진-후행 SDE의 해와 연결한다.