[논문 리뷰] Semi-robust Local Projection Stabilization for Non Inf-sup Stable Discretizations of the Evolutionary Navier-Stokes Equations

Javier de Frutos, Bosco Garcı́a-Archilla외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 04.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 진동하는 나비에-스토크스 방정식의 비 inf-sup 안정적인 유한요소 해법에 대해 반-강건한 국소 투영 안정화(LPS) 방법을 제안한다. 이는 점성에 독립적인 $ l+1/2 $ 순서의 최적 속도 오차 수렴 속도를 $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 범주에서 증명하며, 압력 기울기 안정화를 통한 비선형 항의 최적 경계 설정을 보여준다.

ABSTRACT

This paper studies non inf-sup stable finite element approximations to the evolutionary Navier--Stokes equations. Several local projection stabilization (LPS) methods corresponding to different stabilization terms are analyzed, thereby separately studying the effects of the different stabilization terms. Error estimates are derived in which the constants in the error bounds are independent of inverse powers of the viscosity. For one of the methods, using velocity and pressure finite elements of degree $l$, it will be proved that the velocity error in $L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$ decays with rate $l+1/2$ in the case that $ u\le h$, with $ u$ being the dimensionless viscosity and $h$ the mesh width. In the analysis of another method, it was observed that the convective term can be bounded in an optimal way with the LPS stabilization of the pressure gradient. Numerical studies confirm the analytical results.

연구 동기 및 목표

• 진동하는 나비에-스토크스 방정식에 대한 비 inf-sup 안정적인 유한요소 방법에서 발생하는 불안정성 문제를 해결하기 위해.
• 다양한 국소 투영 안정화(LPS) 항의 개별 효과가 수치적 안정성과 수렴성에 미치는 영향을 분석하기 위해.
• 역점성의 거듭제곱에 의존하지 않는 상수를 갖는 오차 추정을 유도하여 저점성 영역에서의 강건성을 확보하기 위해.
• $ l $-차수 유한요소를 사용할 때 $ L^∞(0,T;L^2) $ 노름에서 속도 오차의 최적 수렴 속도를 확립하기 위해.
• LPS 안정화가 압력 기울기 안정화를 통해 비선형 항을 최적 수준으로 경계할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 서로 다른 안정화 항을 갖는 국소 투영 안정화(LPS)를 적용하여 각 항의 기여를 분리하고 분석한다.
• 속도와 압력 유한요소를 모두 $ l $-차수로 사용하며, inf-sup 조건을 필요로 하지 않는 방식으로 안정화 항을 조정한다.
• 압력 기울기와 비선형 항을 안정화하기 위해 LPS 항을 포함하는 변분 형식을 사용한다.
• 속도에 대한 오차 추정을 $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 범주에서 유도하며, $ u \leq h $ 조건 하에서 수렴 속도 $ l+1/2 $ 를 확보한다. 여기서 $ u $ 는 무차원 점성, $ h $ 는 메쉬 너비이다.
• 압력 기울기의 LPS 안정화를 통해 비선형 항의 경계를 분석하고 최적 제어를 달성한다.
• 이론적 결과를 수치적 실험을 통해 검증하여 예측된 수렴 속도와 안정성 행동을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 투영 안정화는 진동하는 나비에-스토크스 방정식의 비 inf-sup 안정적인 해법에서 점성에 독립적인 오차 경계를 달성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 반-강건한 LPS 안정화를 사용할 때 $ l $-차수 유한요소를 적용한 $ L^∞(0,T;L^2) $ 범주에서 속도 오차의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 압력 기울기의 LPS 안정화가 비선형 항의 경계를 최적 수준으로 유지하면서 어떻게 기여하는가?
• RQ4 다양한 LPS 안정화 항의 효과는 안정성과 수렴성을 유지하면서 독립적으로 분석될 수 있는가?
• RQ5 수치 실험은 이론적 수렴 속도와 점성에 대한 강건성을 확인하는가?

주요 결과

• $ L^∞(0,T;L^2(Ω)) $ 범주에서 속도 오차는 $ l+1/2 $ 속도로 수렴하며, 이는 주어진 유한요소 차수 $ l $ 에 대해 최적이다. 조건 $ u \leq h $ 가 만족될 경우에 한하여.
• 오차 경계는 점성의 역수의 거듭제곱에 의존하지 않으며, 저점성 영역에서의 강건성을 보장한다.
• 압력 기울기의 LPS 안정화가 분석에서 비선형 항의 최적 경계 설정을 가능하게 한다.
• inf-sup 조건을 만족하지 않더라도 속도에 대해 최적 수렴을 달성한다.
• 수치 실험은 이론적 수렴 속도와 다양한 점성 수준에서의 해법의 안정성을 확인한다.
• 안정화 항의 개별 분석을 통해 전체 안정성과 수렴 행동에 기여하는 각 항의 독립적 기여가 드러난다.