[논문 리뷰] Semiclassical hydrodynamics of a quantum Kane model for semiconductors

Luigi Barletti, G. Borgioli외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 14.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $k\cdot p$ 해밀토니안과 위그너-BGK 형식을 사용하여 두 에너지 밴드를 가진 반도체에서 전자에 대한 양자역학적 유체역학 모델을 유도한다. 순간 방정식을 닫기 위해 최대 엔트로피 원리를 적용함으로써 국소 평형 상태는 밀도 및 속도 장에 의해 유일하게 매개변수화되며, 이는 비포arabolic 밴드 역학과 상호밴드 전이를 BGK 유사한 비탄성 항을 통해 일관되게 기술할 수 있는 유체 기반 기술을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we derive a semiclassical hydrodynamic system for electron densities and currents in the two energy bands of a semiconductor. We use the semiclassical Wigner equation with a k.p Hamiltonian and a BGK dissipative term to construct the first two moment equations. The closure of the moment system is obtained using the Maximum Entropy Principle, by minimizing a Gibbs free-energy functional under suitable constraints. We prove that the constraint equations can be uniquely solved, i.e. that the local equilibrium state can be parametrized by the density and velocity field. Some BGK-like models are proposed to mimic the quantum interband migration.

연구 동기 및 목표

• 두 밴드 반도체에서 전자 이동도를 기술하는 유체역학 모델을 개발하여 물리적 정확성과 수치적 구현 가능성의 균형을 이루는 것.
• 비포어바닉 밴드 효과와 상호밴드 전이 요소를 유체역학 프레임워크에 통합하면서 양자역학적 일관성을 유지하는 것.
• 최대 엔트로피 원리를 적용하여 순간 시스템을 닫아 열역학적으로 일관된 유체 변수를 확보하는 것.
• 물리적으로 타당한 BGK 유사 충돌 항을 제안하여 상호밴드 산산각과 비탄성 과정을 모델링하는 것.
• 최대 엔트로피 원리 닫힘에서 라그랑주 승수 $A_{\pm}$ 및 $\mathbf{B}_{\pm}$ 의 유일한 해를 밀도 및 속도와의 관계에서 증명하는 것.

제안 방법

• 퍼세우드-스핀어 포장법을 사용하여 밴드의 전도대 및 가법대를 기술하기 위해 $2\times2$ 행렬 연산자 형태로 $k\cdot p$ 해밀토니안을 기술한다.
• 행렬 값 위그너 함수를 사용하여 위상공간 내 전자 상태를 기술하며, 스칼라 및 퍼세우드-스핀어리얼 부분으로 분해한다.
• 위그너-BGK 방정식에서 제0차 및 제1차 순간 방정식을 유도하여 밴드 밀도 $n_{\pm}$ 과 전류 $n_{\pm}\mathbf{u}_{\pm}$ 를 도출한다.
• 순간 제약 조건 하에 깁스 자유 에너지 기능을 최소화함으로써 최대 엔트로피 원리를 적용하여 순간 시스템을 닫는다.
• 밴드 회복, 등방성 상호밴드 산산각, 편극도 회복을 모델링하기 위해 세 가지 BGK 유사 충돌 항을 도입한다.
• 라그랑주 승수 $A_{\pm}$ 와 $\mathbf{B}_{\pm}$ 가 국소 밀도 및 속도에 대해 전역적으로 가역 함수임을 증명하여 유일한 닫힘을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 밴드 반도체에 대해 $k\cdot p$ 모델에서 기인하는 비포어바닉 밴드 효과를 유지하면서 일관된 유체역학 모델을 유도할 수 있는가?
• RQ2 두 밴드 시스템에서 행렬 값 위그너 함수의 순간 시스템에 최대 엔트로피 원리를 적용하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 유체역학 모델에서 압력 텐서와 효과적 질량 텐서의 수학적 구조는 무엇이며, 이는 국소 변수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 완전한 양자 운동학적 처리 없이도 반도체의 상호밴드 전이 현상을 양자역학적 유체역학 프레임워크에서 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ5 이 두 밴드 시스템에서 국소 평형 상태가 밀도 및 속도 장에 의해 유일하게 결정되는가?

주요 결과

• 최대 엔트로피 닫힘에서 라그랑주 승수 $A_{\pm}$ 와 $\mathbf{B}_{\pm}$ 는 국소 밀도 $n_{\pm}$ 과 속도 장 $\mathbf{u}_{\pm}$ 에 대해 전역적으로 가역 함수이며, 국소 평형 상태의 유일하고 매끄러운 매개변수화를 보장한다.
• 압력 텐서 $\mathbb{T}_{\pm}$ 는 에너지 및 속도 분포의 로그 모멘트 생성 함수의 헤시안으로 표현되며, 이는 최대 엔트로피 원리에서 유도된다.
• 효과적 질량 텐서 $\mathbb{Q}_{\pm}$ 는 밴드 질량 텐서의 역행렬을 에너지 및 운동량 항의 지수함수로 가중한 적분으로 주어진다.
• 세 가지 별개의 BGK 유사 충돌 항을 제안한다: 밴드 회복, 등방성 상호밴드 산산각, 편극도 회복을 위한 항이며, 각각 총 밀도 및 운동량을 보존한다.
• 밴드 회복 항 $C^{\mathit{br}}$ 는 상부 밴드를 감소시키고 하부 밴드를 특성 시간 $\tau_{\mathit{br}}$ 에 따라 인플레이션시키며, 등방성 산산각 항 $C^{\mathit{is}}$ 는 운동량을 등방성으로 재분배하고 밀도 및 전류 편극도를 회복시킨다.
• 최종로 유도된 유체역학 시스템 (53) 은 오일러-포아송 유사 시스템이며, 밴드 밀도 및 속도에 의존하는 소스 항 $N_{\pm}$ 과 $\mathbf{U}_{\pm}$ 를 포함하고 있으며, 포아송 방정식에 의해 자발적인 전기적 포텐셜을 포함한다.