[논문 리뷰] Semiclassical Spectral Invariants for Schrödinger Operators

Victor Guillemin, Zuoqin Wang|ArXiv.org|2009. 05. 06.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$ 위의 슈뢰딩거 연산자의 양자역학적 스펙트럼 측도에 대한 渐近 전개를 유도하며, 전개의 첫 번째 몇 항—특히 주항 및 보조항—이 1차원과 2차원에서 전위 $V$와 자기장 $B$를 결정함을 보여준다. 특히 $\mathbb{R}^2$에서 중심 대칭인 $V$와 $B$에 대해서는 둘 다 $O(\hbar^\infty)$까지 스펙트럼적으로 결정되며, 1차원에서는 스펙트럼 측도와 연산자의 비르호프 정규형 사이에 직접적인 스펙트럼 항등식이 존재한다.

ABSTRACT

In this article we study the semiclassical spectral measures associated with Schrödinger operators on $R^n$. In particular we compute the first few coefficients of the asymptotic expansions of these measures and, as an application, give an alternative proof of Colin de Verdiere's result on recovering one dimensional potential wells from semiclassical spectral data. We also study the relation of semiclassical spectra measures to Birkhoff normal forms and describe a generalization of the asymptotic expansion above to the Schrödinger operator in the presence of a magnetic field.

연구 동기 및 목표

• 양자역학적 스펙트럼 측도에 대한 $\mathbb{R}^n$ 위의 슈뢰딩거 연산자에 대한 渐近 전개를 유도하는 것.
• 스펙트럼 측도 전개의 첫 번째 몇 항을 분석하여 1차원 및 2차원에서 역스펙트럼 결과를 확립하는 것.
• 반경 대칭 전위 및 자기장을 가진 $\mathbb{R}^2$에서 $V$와 $B$가 모두 스펙트럼적으로 결정됨을 보이는 것.
• 1차원에서 스펙트럼 정규형을 연결하는 양자 비르호프 정규형 정리를 증명하는 것—스펙트럼 측도가 직접적으로 연산자의 비르호프 정규형과 연결됨을 보이는 것.
• 스펙트럼 불변량을 자기장이 있는 슈뢰딩거 연산자로 확장하여 스펙트럼 측도에 대한 수정된 渐近 공식을 도출하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 측도 $\mu_\hbar$ 의 $\hbar \to 0$ 에서의 渐近 전개를 유도하여 $\mu_\hbar \sim \sum \hbar^{2k} \left(\frac{d}{dt}\right)^{2k} \mu_k$ 형태로 표현하는 것.
• 타원형 연산자에 대한 일반적인 양자역학적 스펙트럼 정리를 사용하여 $\left(\frac{d}{dt}\right)^{4k}$ 형태의 初기 전개를 확보한 후, 부분 적분을 적용하여 $\left(\frac{d}{dt}\right)^{2k}$ 형태로 축소하는 것.
• 전개의 첫 두 항에 대한 명시적 공식을 계산하는 것: $\nu_0(f) = \int f(\frac{\xi^2}{2} + V(x)) \, dx \, d\xi$ 와 $\nu_1(f) = -\frac{1}{24} \int f^{(2)}(\frac{\xi^2}{2} + V(x)) \sum_i \frac{\partial^2 V}{\partial x_i^2} \, dx \, d\xi$.
• 자기장을 포함시키기 위해 방법을 일반화하여 $\|B\|^2$ 와 $\sum \partial^2 V / \partial x_k^2$ 를 포함하는 수정된 보조항을 도출하는 것.
• 양자 비르호프 정규형을 확립하는 것: 1차원에서 $S_\hbar$ 는 $H_{QB}(S_\hbar^{\text{har}}, \hbar^2) + O(\hbar^\infty)$ 와 유니타리 동치이며, 여기서 $S_\hbar^{\text{har}}$ 는 조화 진동자이다.
• 스펙트럼 측도 $\mu_\hbar(f)$ 가 $\int_0^a f(t) \frac{dK}{dt}(t, \hbar^2) \, dt$ 로 주어짐을 증명하며, 여기서 $K(t, \hbar^2)$ 는 비르호프 정규형의 역함수이므로 스펙트럼 기하학적 이중성(duaity)을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈뢰딩거 연산자의 양자역학적 스펙트럼 측도 전개를 통해 $\mathbb{R}^2$ 에서 전위 $V$ 와 자기장 $B$ 를 재구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 대칭 조건 하에서 1차원에서 스펙트럼 측도는 전위를 어느 정도 결정하는가?
• RQ3 1차원에서 스펙트럼 측도와 슈뢰딩거 연산자의 비르호프 정규형 사이에 직접적인 스펙트럼 항등식이 존재하는가?
• RQ4 자기장이 존재할 경우, 자기장이 없는 경우에 비해 스펙트럼의 渐近 불변량은 어떻게 수정되는가?
• RQ5 스펙트럼적으로 동일한 전위가 존재하지만 유니타리 동치가 아닌 경우가 있는가? 만약 그렇다면, 스펙트럼 결정이 실패하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 2차원에서 중심 대칭 전위 $V$ 와 자기장 $B$ 에 대해, 둘 다 스펙트럼적으로 결정된다: $O(\hbar^2)$ 와 $O(\hbar^4)$ 항을 통해 $V$ 와 $B$ 는 재구성 가능하다.
• 1차원에서 스펙트럼 측도는 연산자의 비르호프 정규형을 결정하며, 그 역도 성립한다. 관계식은 $H_{QB}(s, \hbar^2) = t \Longleftrightarrow s = K(t, \hbar^2)$ 로 주어진다.
• $O(\hbar^6)$ 항은 스펙트럼적으로 결정되는 적분을 제공한다: $\int_{\frac{\xi^2}{2} + V(x) \leq \lambda} \left( \frac{\xi^8}{490}(V^{\prime\prime\prime}(x))^2 - \frac{\xi^6}{63}(V^{\prime\prime}(x))^3 - \frac{\xi^4}{12}(V^\prime(x)V^{\prime\prime}(x))^2 - \frac{11}{144}(V^\prime(x))^6 \right) \, dx \, d\xi$.
• $O(\hbar^4)$ 항은 스펙트럼적으로 결정되는 적분을 제공한다: $\int \left( \frac{1}{480}(V^{\prime\prime}(x))^2 f^{(4)} + \frac{7}{3456}(V^\prime(x))^4 f^{(6)} \right) \, dx \, d\xi$, 이는 $\frac{1}{1152} \int \left(7V^\prime V^{\prime\prime\prime} + \frac{47}{5}(V^{\prime\prime})^2 \right) f^{(4)} \, dx \, d\xi$ 로 단순화된다.
• 비대칭성 가정이 없을 경우, $O(\hbar^\infty)$ 모듈로 동일 스펙트럼인 단일 우물 전위가 비가산적으로 많은 수 존재하므로, 이러한 조건이 없이 스펙트럼 결정이 실패함을 보여준다.
• 자기장이 있는 슈뢰딩거 연산자에 대해서는 보조항이 $\frac{1}{48} \int f^{(2)}(\frac{1}{2}\sum (\xi_i + a_i)^2 + V(x)) \left( -2\sum \frac{\partial^2 V}{\partial x_k^2} + \|B\|^2 \right) \, dx \, d\xi$ 로 수정되며, 이는 중심 대칭 조건 하에서 $V$ 와 $\|B\|$ 의 스펙트럼적 결정을 가능하게 한다.