[논문 리뷰] Semicrossed products of operator algebras and their C*-envelopes

Evgenios T. A. Kakariadis, Elias G. Katsoulis|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 13.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $*$-자기동형사상으로 확장되는 단위 연산자 대수 ${\mathcal{A}}$와 자동형사상 $\alpha$ 사이의 등장각 반교환곱을 도입한다. 이는 등장각 반교환곱의 C*-환경이 ${\mathcal{A}}$의 C*-환경과 $\alpha$에 대한 교환곱과 동형임을 증명하여, 반교환곱과 그 C*-환경 간의 관계에 대한 핵심 질문을 해결한다. 이 결과는 비가환 원판 대수에 관한 이전의 발견을 일반화하며, C*-대응의 텐서 대수로까지 확장된다.

ABSTRACT

Let $\A$ be a unital operator algebra and let $α$ be an automorphism of $\A$ that extends to a *-automorphism of its $\ca$-envelope $\cenv (\A)$. In this paper we introduce the isometric semicrossed product $\A imes_α^{\is} \bbZ^+ $ and we show that $\cenv(\A imes_α^{\is} \bbZ^+) \simeq \cenv (\A) imes_α \bbZ$. In contrast, the $\ca$-envelope of the familiar contractive semicrossed product $\A imes_α \bbZ^+ $ may not equal $\cenv (\A) imes_α \bbZ$. Our main tool for calculating $\ca$-envelopes for semicrossed products is the concept of a relative semicrossed product of an operator algebra, which we explore in the more general context of injective endomorphisms. As an application, we extend a recent result of Davidson and Katsoulis to tensor algebras of $\ca$-correspondences. We show that if $\T_{\X}^{+}$ is the tensor algebra of a $\ca$-correspondence $(\X, \fA)$ and $α$ a completely isometric automorphism of $\T_{\X}^{+}$ that fixes the diagonal elementwise, then the contractive semicrossed product satisfies $ \cenv(\T_{\X}^{+} imes_α \bbZ^+)\simeq Ø_{\X} imes_α \bbZ$, where $Ø_{\X}$ denotes the Cuntz-Pimsner algebra of $(\X, \fA)$.

연구 동기 및 목표

• 다양한 종류의 연산자 대수의 반교환곱과 그 C*-환경 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 등장각 반교환곱과 수축 반교환곱이 일치하는 조건을 설정하기 위해.
• 특히 자동형사상이 대수의 C*-환경으로 확장될 경우, 반교환곱의 C*-환경을 계산하기 위해.
• Davidson과 Katsoulis(2013)의 비가환 원판 대수에 관한 주요 결과를 C*-대응의 텐서 대수로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 등장각 반교환곱 ${\mathcal{A}} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+$를 ${\mathcal{A}}$와 자동형사상 $\alpha$를 실현하는 등장각으로 생성되는 유일한 연산자 대수로 정의한다.
• 단사 내형사상에 대한 일반화로 상대 반교환곱을 정의하여, 등장각 및 수축 구조 간의 비교를 가능하게 한다.
• 유일한 반교환곱의 개념과 구체적 표현을 사용하여 유도된 대수의 구조를 분석한다.
• 완전 수축 사상에 대한 색실러 부등식을 적용하여 표현의 행렬 성분을 분석하고 핵심 소멸 성격을 증명한다.
• 등장각 표현의 수열을 구성하고 강한 연산자 위상의 극한을 사용하여 유한한 직접합으로 표현을 확장함으로써 공변성을 유지한다.
• 완전 등장각 자기동형사상일 경우 등장각 및 상대 반교환곱이 일치함을 보여주는 정리 2.6을 적용하여 C*-환경에 관한 주요 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 연산자 대수의 등장각 반교환곱과 수축 반교환곱이 일치하는가?
• RQ2 반교환곱의 C*-환경은 원래 대수의 C*-환경에 대한 교환곱과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 완전 등장각 자기동형사상 하에서 C*-대응의 텐서 대수의 C*-환경은 그 Cuntz-Pimsner 대수의 교환곱과 일치하는가?
• RQ4 자동형사상이 C*-환경으로 확장될 때 반교환곱의 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 자동형사상 $\alpha$가 ${\mathcal{A}}$의 C*-환경 위에서 $*$-자기동형사상으로 확장될 경우, 등장각 반교환곱 ${\mathcal{A}} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+$의 C*-환경은 $\mathrm{C}^*_{\text{env}}({\mathcal{A}}) \times_{\alpha} \mathbb{Z}$와 동형이다.
• 모든 단위 연산자 대수 ${\mathcal{A}}$와 ${\mathcal{A}}$의 완전 등장각 자기동형사상 $\alpha$에 대해 등장각 반교환곱과 상대 반교환곱은 일치한다.
• C*-대응 $({\mathcal{X}}, {\mathfrak{A}})$의 텐서 대수 ${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{+}$에 대해, 자동형사상 $\alpha$가 ${\mathfrak{A}}$를 점별로 고정하는 완전 등장각 자기동형사상이라면 ${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{+} \times_{\alpha}^{\text{is}} \mathbb{Z}^+ \simeq {\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{+} \times_{\alpha} \mathbb{Z}^+$이다.
• 수축 반교환곱 ${\mathcal{T}}_{{\mathcal{X}}}^{+} \times_{\alpha} \mathbb{Z}^+$의 C*-환경은 ${\mathcal{O}}_{{\mathcal{X}}} \times_{\alpha} \mathbb{Z}$와 동형이며, 여기서 ${\mathcal{O}}_{{\mathcal{X}}}$는 $({\mathcal{X}}, {\mathfrak{A}})$의 Cuntz-Pimsner 대수이다.
• 등장각 표현의 강한 연산자 위상 극한을 사용하는 증명 기법은 원래 시스템을 확장하는 완전 수축 표현을 구성할 수 있게 하여 C*-환경의 식별을 가능하게 한다.