[논문 리뷰] Semidefinite Approximations of Reachable Sets for Discrete-time Polynomial Systems

Victor Magron, Pierre-Loïc Garoche외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 15.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 14인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 이산시간 다항 시스템과 준대수적 제약 조건을 갖는 경우의 도달 가능 영역에 대한 증명 가능 외부 근사값을 계산하기 위해 볼록 준정형 프로그래밍 프로그램의 계층을 제안한다. 도달 가능 영역을 무한차원 모멘트 문제의 해로 공식화함으로써, 다항식의 차수를 높일수록 $L_1$ 노름에서 진짜 도달 가능 영역에 수렴하는 수렴성 보장이 있는 다항식 초수준 집합을 얻을 수 있다.

ABSTRACT

We consider the problem of approximating the reachable set of a discrete-time polynomial system from a semialgebraic set of initial conditions under general semialgebraic set constraints. Assuming inclusion in a given simple set like a box or an ellipsoid, we provide a method to compute certified outer approximations of the reachable set. The proposed method consists of building a hierarchy of relaxations for an infinite-dimensional moment problem. Under certain assumptions, the optimal value of this problem is the volume of the reachable set and the optimum solution is the restriction of the Lebesgue measure on this set. Then, one can outer approximate the reachable set as closely as desired with a hierarchy of super level sets of increasing degree polynomials. For each fixed degree, finding the coefficients of the polynomial boils down to computing the optimal solution of a convex semidefinite program. When the degree of the polynomial approximation tends to infinity, we provide strong convergence guarantees of the super level sets to the reachable set. We also present some application examples together with numerical results.

연구 동기 및 목표

• 이산시간 다항 시스템의 도달 가능 영역을 준대수적 초기 조건 및 상태 제약 조건 하에서 근사화하는 데 도전하는 문제를 다루기 위해.
• 수렴 보장을 갖는 증명 가능 외부 근사값을 제공하는 방법을 제시하기 위해.
• 이전의 선형 이완 및 르아프노프 기반 방법의 한계를 극복하기 위해, 이는 종종 타당성이나 수렴성을 보장하지 못하기 때문이다.
• 다항식 차수를 증가시킬수록 근사 정확도를 체계적으로 향상시키는 볼록 준정형 프로그래밍 프로그램의 계층을 개발하기 위해.

제안 방법

• 도달 가능 영역을 측도 위의 무한차원 선형 프로그래밍 문제로 공식화함으로써, 점유 측도와 모멘트 이완을 사용한다.
• 합의 제곱(SOS) 표현식과 모멘트 행렬 제약 조건을 기반으로 한 쌍대-이중형 준정형 프로그래밍(SDP)의 계층을 구성한다.
• 계수를 준정형 프로그래밍 최적화를 통해 계산하는 증가하는 차수의 다항식 초수준 집합을 사용하여 도달 가능 영역을 외부 근사한다.
• 유한 질량 가정 하에 근사값이 도달 가능 영역의 지시 함수에 대해 $L_1$ 노름에서 수렴하도록 보장한다.
• 무한차원 문제를 유한차원 볼록 이완으로 변환하기 위해 라스레르 계층 프레임워크를 활용한다.
• 유계 및 무한 궤적 모두에 대해 적용하여 근사값을 계산한다. 이는 줄리 집합 및 플랑크톤 성장 모델을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산시간 다항 시스템의 준대수적 제약 조건이 있는 경우, 볼록 최적화를 통해 증명 가능 외부 근사값을 계산할 수 있는가?
• RQ2 다항식 차수를 높일수록 근사값이 진짜 도달 가능 영역에 어떻게 수렴하는가?
• RQ3 모멘트 문제 공식화와 도달 가능 영역에 대한 르베그 측도 제약 조건 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비볼록 또는 분리된 도달 가능 영역을 갖는 시스템, 예를 들어 만델브로 및 줄리 집합의 경우에 이 방법을 적용할 수 있는가?
• RQ5 이 틀은 내부 근사값을 제공하거나 연속시간 시스템에 적응하기 위해 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 무한차원 모멘트 문제의 최적값은 도달 가능 영역의 부피에 해당하며, 최적 해는 이 집합에 제한된 르베그 측도이다.
• 외부 근사값은 차수를 증가시키는 다항식의 초수준 집합으로 구성되며, 계수는 볼록 준정형 프로그래밍을 통해 계산된다.
• 다항식 근사의 계층이 차수의 무한에 접근함에 따라 $L_1$ 노름에서 도달 가능 영역의 지시 함수로 강한 수렴성을 보인다.
• 수치 결과는 이차 줄리 맵의 경우, 근사값이 만델브로 집합 내에서 매개변수의 위치에 따라 연결된 동역학과 연결되지 않은 동역학을 정확히 구분함을 보여준다.
• 플랑크톤 성장 모델의 경우, 근사값은 평형점으로 수렴하며, 차수를 높일수록 정확도가 향상됨을 보여준다.
• 이 방법은 수렴 보장을 제공하고, 이전의 LP 기반 및 르아프노프 기반 접근법보다 타당성과 이론적 일관성 측면에서 더 우수한 성능을 발휘한다.