[논문 리뷰] Semidefinite relaxation of multi-marginal optimal transport for strictly correlated electrons in second quantization

Yuehaw Khoo, Lin Lin외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 20.

Advanced Chemical Physics Studies참고 문헌 36인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 2차 양자화된 양자 many-body 시스템의 стрictly correlated electron (SCE) 극한에서 발생하는 다중-마진 최적 운반(MMOT) 문제를 해결하기 위해 준정형계획법(SDP) 근사를 제안한다. 2- 및 3-마진에 대한 제약 조건을 도입함으로써, $2L \times 2L$ 준정형행렬 제약 조건을 가진 다항식 시간 계산이 가능해지며, 이는 unrelaxed MMOT 결과와 일치하는 날카운 높은 하한을 제공한다. 또한, 슬래터 조건이 성립하지 않음에도 불구하고 이중성 도달을 증명하여 코흐-샤움 DFT에서 자성화된 필드 반복이 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider the strictly correlated electron (SCE) limit of the fermionic quantum many-body problem in the second-quantized formalism. This limit gives rise to a multi-marginal optimal transport (MMOT) problem. Here the marginal state space for our MMOT problem is the binary set $\{0,1\}$, and the number of marginals is the number $L$ of sites in the model. The costs of storing and computing the exact solution of the MMOT problem both scale exponentially with respect to $L$. We propose an efficient convex relaxation which can be solved by semidefinite programming (SDP). In particular, the semidefinite constraint is only of size $2L imes 2L$. Moreover, the SDP-based method yields an approximation of the dual potential needed to the perform self-consistent field iteration in the so-called Kohn-Sham SCE framework, which, once converged, yields a lower bound for the total energy of the system. We demonstrate the effectiveness of our methods on spinless and spinful Hubbard-type models. Numerical results indicate that our relaxation methods yield tight lower bounds for the optimal cost, in the sense that the error due to the semidefinite relaxation is much smaller than the intrinsic modeling error of the Kohn-Sham SCE method. We also describe how our relaxation methods generalize to arbitrary MMOT problems with pairwise cost functions.

연구 동기 및 목표

• fermionic 시스템의 strictly correlated electron (SCE) 극한에서 정확한 다중-마진 최적 운반(MMOT)의 지수적 스케일링 문제를 해결하기 위해.
• SCE 기능과 그 기울기를 효율적으로 계산할 수 있도록 MMOT 문제의 볼록 근사를 개발하기 위해.
• Slater의 조건이 성립하지 않음에도 불구하고 준정형계획법(SDP) 근사에서 이중성 도달을 보장하여 코흐-샤움 DFT에서 자성화된 필드 반복이 가능하게 하기 위해.
• 스핀 없는 및 스핀 있는 Hubbard 유형 모델에 대해 본 방법의 정확성과 확장성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이중 상태 공간 $\{0,1\}$ 과 쌍별 비용 $C_{pq}(s_p,s_q) = v_{pq}$ (단, $s_p = s_q = 1$ 일 때)를 갖는 다중-마진 최적 운반(MMOT) 문제로 SCE 기능을 수식화한다.
• 2-마진에 대한 필수 제약 조건을 도입함으로써 볼록 근사를 제안하고, $2L \times 2L$ 제약 행렬을 가진 준정형계획법(SDP)을 도출한다.
• 3-마진 제약 조건을 도입하여 더 강력한 근사를 제공하고 최적 비용에 대한 하한을 향상시킨다.
• 슬래터 조건이 성립하지 않음에도 불구하고, 타당한 원본 점이 존재하지 않음에도 불구하고 SDP의 이중성 도달을 엄밀히 증명하여 자성화된 필드(ScF) 반복에 필요한 효과적 잠재력의 존재를 보장한다.
• 이중 SDP를 해결하여 캄토로비치 이중 잠재력을 도출하며, 이는 코흐-샤움 DFT의 ScF 사이클에 필요한 SCE 잠재력을 제공한다.
• 이러한 근사 프레임워크를 쌍별 비용 함수를 갖는 임의의 MMOT 문제에 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SCE 극한에서의 MMOT 문제에 대해 지수적 스케일링을 피할 수 있도록 볼록 근사를 수립할 수 있는가?
• RQ2 2L × 2L 제약 행렬을 가진 준정형계획법 근사가 Hubbard 유형 모델의 SCE 에너지에 대해 날카운 하한을 제공하는가?
• RQ3 Slater의 조건이 실패할 경우에도 SDP 근사에서 이중성 도달을 확립할 수 있는가?
• RQ4 SCE 형식론의 모델링 오차를 고려할 때, SDP 근사는 정확한 MMOT 해에 얼마나 잘 근사하는가?
• RQ5 SDP의 이중 해는 코흐-샤움 DFT에서 자성화된 필드 반복에 필요한 효과적 잠재력을 구성하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 $2L \times 2L$ 준정형행렬 제약 조건을 가진 SDP 근사는 정확한 MMOT의 지수적 스케일링 문제를 해결하고 다항식 시간 계산을 가능하게 한다.
• 수치 결과는 2-마진 및 3-마진 SDP 근사가 unrelaxed MMOT 해와 유사한 하한을 제공하며, 특히 SCE 프레임워크 내 모델링 오차를 고려할 때 뛰어난 성능을 보인다.
• 슬래터 조건이 성립하지 않음에도 불구하고, 원본 점이 엄밀히 타당하지 않음에도 불구하고 SDP의 이중성 도달을 엄밀히 증명하여 자성화된 필드 반복에 필요한 효과적 잠재력의 존재를 보장한다.
• SDP의 이중 해는 코흐-샤움 형식론에서 SCE 잠재력을 구성하는 데 필요한 캄토로비치 잠재력을 제공하며, 자성화된 필드 사이클을 가능하게 한다.
• 이 근사 프레임워크는 쌍별 비용 함수를 갖는 임의의 MMOT 문제에 일반화되어 있으며, 특정 SCE 설정을 넘어서 광범위한 적용 가능성을 갖는다.
• 본 방법은 스핀 없는 및 스핀 있는 Hubbard 유형 모델의 기초 상태 에너지를 높은 정확도와 계산 효율성으로 성공적으로 계산한다.