[논문 리뷰] Semidefinite Representation of Convex Sets

J. William Helton, Jiawang Nie|ArXiv.org|2007. 05. 28.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 볼록이고 컴act하며, 반대칭 다항식으로 정의된 대칭집합이 선형행렬부등식(LMI)으로 정의된 고차원 공간의 사영으로 표현될 수 있는 충분조건을 제시한다. 주요 기여는 정의 다항식의 볼록성, 양의 정부호 라그랑주 헤시안, sos-볼록성 또는 경계에서의 양의 곡률 조건 하에서 SDP 표현 가능성을 증명하는 것으로, 강화된 Positivstellensatz 표현을 활용한다.

ABSTRACT

Let $S =\{x\in e^n: g_1(x)\geq 0, ..., g_m(x)\geq 0\}$ be a semialgebraic set defined by multivariate polynomials $g_i(x)$. Assume $S$ is convex, compact and has nonempty interior. Let $S_i =\{x\in e^n: g_i(x)\geq 0\}$, and $\bdS$ (resp. $\bdS_i$) be the boundary of $S$ (resp. $S_i$). This paper discusses whether $S$ can be represented as the projection of some LMI representable set. Such $S$ is called semidefinite representable or SDP representable. The contributions of this paper: {\bf (i)} Assume $g_i(x)$ are all concave on $S$. If the positive definite Lagrange Hessian (PDLH) condition holds, i.e., the Hessian of the Lagrange function for optimization problem of minimizing any nonzero linear function $\ell^Tx$ on $S$ is positive definite at the minimizer, then $S$ is SDP representable. {\bf (ii)} If each $g_i(x)$ is either sos-concave ($- abla^2g_i(x)=W(x)^TW(x)$ for some possibly nonsquare matrix polynomial $W(x)$) or strictly quasi-concave on $S$, then $S$ is SDP representable. {\bf (iii)} If each $S_i$ is either sos-convex or poscurv-convex ($S_i$ is compact convex, whose boundary has positive curvature and is nonsingular, i.e. $ abla g_i(x) ot = 0$ on $\bdS_i \cap S$), then $S$ is SDP representable. This also holds for $S_i$ for which $\bdS_i \cap S$ extends smoothly to the boundary of a poscurv-convex set containing $S$. {\bf (iv)} We give the complexity of Schmüdgen and Putinar's matrix Positivstellensatz, which are critical to the proofs of (i)-(iii).

연구 동기 및 목표

• 볼록하고 컴팩트하며, 전체 차원을 가진 반대칭집합이 선형행렬부등식(LMI)으로 표현 가능한 충분조건를 결정하는 것.
• 높은 차원에서 LMI로 정의된 집합의 사영으로 표현 가능한 볼록집합의 범위에 대한 열린 문제를 다루는 것.
• 선형 함수가 집합 위에서 비음수일 경우, 그 표현에 대한 균일한 차수 경계를 설정하여 선형 함수에 독립적으로 유지하는 것.
• SDP 표현 가능성에 대한 필수 기하 조건(예: 음이 아닌 곡률)과 충분한 대수 조건(예: sos-볼록성, 양의 곡률) 사이의 격차를 메우는 것.
• Schmüdgen 및 Putinar의 행렬 Positivstellensatz를 활용하여 이전의 높이 올린 LMI 표현 결과를 확장하고 강화하는 것.

제안 방법

• 라그랑주 헤시안이 양의 정부호일 경우 강력한 볼록성을 보장하여 LMI 표현을 구성할 수 있도록 하는 PDLH 조건을 사용한다.
• Putinar의 Positivstellensatz를 강화하여, 집합 위에서 비음수인 선형 함수를 행렬 다항식의 제곱합으로 표현한다.
• 경계에서 양의 곡률 조건을 더 큰 볼록집합으로 부드럽게 연장할 수 있는 집합을 '확장 가능한 poscurv-볼록' 집합으로 정의한다.
• Schmüdgen 및 Putinar의 행렬 Positivstellensatz를 활용하여 집합 위에서 비음수인 선형 함수의 표현에 대한 균일한 차수 경계를 유도한다.
• 원래 집합을 고차원에서 LMI로 정의된 집합의 사영으로 포함시키는 방식으로 높이 올린 LMI를 구성하며, 정의 다항식의 SOS 분해를 활용한다.
• 헤시안 분석과 다항식 근사 기법을 활용하여 선형 목표 함수의 선택과 무관한 차수 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 볼록하고 컴팩트하며 전체 차원을 가진 반대칭집합이 선형행렬부등식(LMI)로 정의된 고차원 공간의 사영으로 표현 가능한가?
• RQ2 정의 다항식이 볼록일 경우, 양의 정부호 라그랑주 헤시안(PDLH) 조건이 볼록집합의 SDP 표현 가능성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 각 정의 집합 $S_i$의 경계에서의 sos-볼록성 또는 양의 곡률 조건이 교차집합 $S$의 SDP 표현 가능성을 얼마나 보장하는가?
• RQ4 Schmüdgen 또는 Putinar 유형의 표현에서 선형 함수가 집합 $S$ 위에서 비음수일 경우, 선형 함수에 독립적인 균일한 차수 경계를 설정할 수 있는가?
• RQ5 경계의 기하적 성질(예: 양의 곡률, 비특이성)과 대수적 성질(예: sos-볼록성) 간의 관계는 SDP 표현 가능성을 보장하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 모든 정의 다항식 $g_i(x)$ 가 $S$ 위에서 볼록이고, 양의 정부호 라그랑주 헤시안(PDLH) 조건이 성립할 경우, $S$ 는 SDP 표현 가능하다.
• 각 $g_i(x)$ 가 sos-볼록성(즉, $-\nabla^2 g_i(x) = W(x)^T W(x)$ 를 만족하는 행렬 다항식 $W(x)$ 가 존재)이거나 $S$ 위에서 엄격한 준볼록성일 경우, $S$ 는 SDP 표현 가능하다.
• 각 $S_i = \{x : g_i(x) \geq 0\}$ 가 sos-볼록이거나 확장 가능한 poscurv-볼록(즉, 경계가 양의 곡률과 비특이성을 가지며 더 큰 poscurv-볼록 집합으로 부드럽게 연장 가능)일 경우, $S$ 는 SDP 표현 가능하다.
• 논문은 Schmüdgen 및 Putinar의 행렬 Positivstellensatz 표현에 대해 명시적인 차수 경계를 제공하며, 입력 다항식의 차수에 대해 최대 지수함수적으로 증가함을 보여준다.
• Positivstellensatz 표현의 복잡도는 다항식의 차수와 헤시안의 조건수에 따라 유계이며, 선형 목표 함수의 선택과 무관하게 유지된다.
• SDP 표현 가능성에 대한 충분조건가 필수 조건에 매우 가까운 것으로 나타나, 경계에서의 음이 아닌 곡률 조건만 요구되며, 이는 볼록성의 필수 조건이다.