[논문 리뷰] Semigroupoid, Groupoid and Group Actions on limits for the Gromov-Hausdorff Propinquity

Frédéric Latrémolière|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 07.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 6인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 쿼어지-라이프니츠 컴팩트 양자 미분형식 공간 위의 군, 군오이드, 그리고 인덕티브 극한 작용이 고모프-하우스도르프 프로피너시티에 의해 유지됨을 증명한다. 이는 양자 미분형식 공간을 근사하기 위한 거리 척도이다. 만약 이러한 공간들의 코시 수열이 수렴하는 군과 호환되는 군 작용을 지닌다면, 그 극한 공간은 극한 군의 비자명한 작용을 상속하게 되며, 이는 국소적으로 컴팩트가 아닌 군들로부터도 C*-대수 위에 새로운 군 작용을 구성할 수 있게 한다.

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff propinquity provides an analytical framework motivated by mathematical physics where quasi-Leibniz compact quantum compact metric spaces may be studied by means of metric approximations. A natural question in this setting, answered in this paper, is whether group actions pass to the limit for this new geometry: if a sequence of quasi-Leibniz compact quantum compact metric spaces is Cauchy for the propinquity and each entry carries a non-trivial compact group action, and if the resulting sequence of groups converges, does the Gromov-Hausdorff limit carry a non-trivial action of the limit group? What about actions from groupoids, or inductive limits of groups? We establish a general result addressing all these matters. Our result provides a first example of a structure which passes to the limit of quantum metric spaces for the propinquity, as well as a new method to construct group actions, including from non-locally compact groups seen as inductive limits of compact groups, on unital C*-algebras. We apply our techniques to obtain some properties of closure of certain classes of quasi-Leibniz quantum compact metric spaces for the propinquity.

연구 동기 및 목표

• 군 작용이 쿼어지-라이프니츠 컴팩트 양자 미분형식 공간 위에서 고모프-하우스도르프 프로피너시티 하에서 극한으로 유지되는지 여부를 규명하는 것.
• 이 결과를 군오이드와 컴팩트 군의 인덕티브 극한으로 확장하는 것.
• 근사 양자 미분형식 공간 위의 작용의 극한을 통해 단위 C*-대수 위에 군 작용을 일반적으로 구성하는 프레임워크를 제공하는 것.
• 쿼어지-라이프니츠 양자 컴팩트 미분형식 공간의 클래스들이 프로피너시티에 대해 닫혀 있는지 분석하는 것.

제안 방법

• 저자는 쿼어지-라이프니츠 컴팩트 양자 미분형식 공간의 공간에 대해 고모프-하우스도르프 프로피너시티를 척도로 사용한다.
• 이 척도 공간 내의 코시 수열의 각 원소 위에 컴팩트 군의 호환 가능한 작용을 정의한다.
• 만약 군 수열이 하우스도르프 거리에서 수렴한다면, 그 극한 공간은 극한 군의 작용을 지닌다.
• 범주론적 및 위상수학적 도구를 사용하여 이 프레임워크를 군오이드와 컴팩트 군의 인덕티브 극한으로 확장한다.
• 이 구성은 프로피너시티의 군 작용에 대한 연속성과 극한에서의 쿼어지-라이프니츠 조건의 안정성에 기반한다.
• 이 프레임워크를 적용하여 일부 양자 미분형식 공간의 클래스가 프로피너시티에 대해 닫혀 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼어지-라이프니츠 양자 컴팩트 미분형식 공간 위의 컴팩트 군 작용 수열이 고모프-하우스도르프 극한으로 이르면, 그 극한에 군 작용이 유도되는가?
• RQ2 이 결과를 단지 군이 아닌 군오이드 작용으로까지 확장할 수 있는가?
• RQ3 근사 공간 위의 컴팩트 군의 인덕티브 극한 작용이 극한 공간 위의 작용을 유도하는가?
• RQ4 프로피너시티 위상에서 극한 과정 동안 쿼어지-라이프니츠 조건이 유지되는가?
• RQ5 이 프레임워크를 사용하여 국소적으로 컴팩트가 아닌 군들로부터도 단위 C*-대수 위에 새로운 군 작용을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 군 작용이 쿼어지-라이프니츠 컴팩트 양자 미분형식 공간 위에서 군 수열이 수렴할 경우 고모프-하우스도르프 프로피너시티 하에서 유지된다.
• 작용이 호환되고 수열이 코시일 경우, 극한 공간은 극한 군의 비자명한 작용을 상속한다.
• 프레임워크는 군오이드 작용으로까지 확장되어 고모프-하우스도르프 극한 공간 위의 극한 작용을 가능하게 한다.
• 이 방법을 통해 인덕티브 극한의 컴팩트 군으로부터 단위 C*-대수 위에 군 작용을 구성할 수 있다.
• 이 극한 작용 프레임워크를 통해 일부 쿼어지-라이프니츠 양자 컴팩트 미분형식 공간의 클래스가 프로피너시티에 대해 닫혀 있음을 입증하였다.
• 이 작업는 프로피너시티 위상에서 극한으로 전달되는 첫 번째 알려진 비자명한 대수적 구조—군 작용—를 제공한다.