[논문 리뷰] Semigroups for One-Dimensional Schrödinger Operators with Multiplicative Gaussian Noise

Pierre Yves Gaudreau Lamarre|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 13.

Random Matrices and Applications참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 분포적 소음 해석과 확률적 기법을 사용하여, 곱셈형 가우시안 노이즈를 가진 일차원 슈뢰딩거 연산자에 대해 파인만-하스 반군의 존재성과 트레이스-클래스 성질을 확립한다. 잠재력과 노이즈에 대한 약한 조건 하에서 반군이 잘 정의되고 컴act하며, $\mathbb{R}$, $(0,\infty)$, $(0,b)$와 같은 도메인에서 다양한 경계 조건을 갖는 일반화된 파인만-하스 공식을 통한 확률적 표현을 허용한다.

ABSTRACT

Let $ H:=- frac12Δ+V$ be a one-dimensional continuum Schrödinger operator. Consider ${\hat H}:= H+ξ$, where $ξ$ is a translation invariant Gaussian noise. Under some assumptions on $ξ$, we prove that if $V$ is locally integrable, bounded below, and grows faster than $\log$ at infinity, then the semigroup $\mathrm e^{-t {\hat H}}$ is trace class and admits a probabilistic representation via a Feynman-Kac formula. Our result applies to operators acting on the whole line $\mathbb R$, the half line $(0,\infty)$, or a bounded interval $(0,b)$, with a variety of boundary conditions. Our method of proof consists of a comprehensive generalization of techniques recently developed in the random matrix theory literature to tackle this problem in the special case where ${\hat H}$ is the stochastic Airy operator.

연구 동기 및 목표

• 불규칙한 노이즈로 인해 점별로 정의되지 않는 곱셈형 가우시안 노이즈를 가진 슈뢰딩거 연산자에 대해 엄밀한 확률적 프레임워크를 구축하는 것.
• 노이즈 $\xi$가 분포적 가우시안 과정일 때 연산자 $\hat{H} = H + \xi$와 그 반군 $e^{-t\hat{H}}$를 정의하는 데 도전하는 문제를 극복하는 것.
• 랜덤 매트릭스 이론에서 유래한 기법—특히 스토하스틱 에어리 연산자에 사용된 기법—을 일반적인 1차원 슈뢰딩거 연산자에 곱셈형 노이즈가 있는 경우로 확장하는 것.
• 잠재력과 노이즈에 대한 약한 조건 하에서 반군 $e^{-t\hat{H}}$가 트레이스-클래스이자 파인만-하스 표현을 갖는다는 것을 증명하는 것.
• 전체 실수선, 반직선, 유계 구간과 같은 다양한 도메인과 딜리클레 또는 로빈 타입 경계 조건을 처리하는 것.

제안 방법

• 곱셈형 가우시안 노이즈 $\xi$를 연속적인 가우시안 과정 $\Xi$의 분포적 도함수로 해석함으로써, 적분 by parts를 통한 $\xi(f)$의 엄밀한 정의를 가능하게 한다.
• 반군 표현을 위해 파인만-하스 공식을 $\mathbb{E}^x[\exp(-\int_0^t V(B(s)) ds - \int_0^t \xi(B(s)) ds) f(B(t))]$ 형태로 사용하며, 적분 $\int \xi(B(s)) ds$를 $\Xi$에 대한 스토하스틱 적분으로 간주한다.
• 유계 도메인에서 경계 조건을 정규화한 $H_n$에 대한 근사 연산자들을 사용하는 극한 절차를 적용하여 전체 연산자 $H$를 근사한다. 예를 들어, 매개수 $n$을 갖는 로빈 조건을 사용한다.
• 반군의 수렴 $K_n(t) \to K(t)$를 연산자 노름에서, 경계 조건의 행렬 표현과 섭동 이론을 통해 고유값과 고유함수의 수렴을 확보한다.
• 경계 조건 행렬 $B_n \to B$의 수렴에 기반하여, 반군의 컴팩트성과 고유함수의 $L^2$-수렴을 증명함으로써 트레이스-클래스 성질을 활용한다.
• 반사 브라운 운동 경로에 대해 국소 시간 항 $\mathfrak{L}^0_t(Y)$와 $\mathfrak{L}^b_t(Y)$를 포함한 일반화된 파인만-하스 공식을 사용하여 반군을 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈가 함수가 아니라 분포일 경우, 곱셈형 가우시안 노이즈를 가진 슈뢰딩거 연산자에 대해 파인만-하스 공식을 엄밀하게 확장할 수 있는가?
• RQ2 잠재력 $V$와 노이즈 $\xi$에 대해 어떤 조건 하에서 반군 $e^{-t\hat{H}}$가 트레이스-클래스가 되는가?
• RQ3 노이즈 $\xi$가 점별로 평가할 수 없을 때 연산자 $\hat{H} = H + \xi$는 어떻게 정의할 수 있으며, 그 반군은 어떻게 확률적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 유계 구간에 정규화된 경계 조건을 갖는 유계 도메인으로 전체 도메인을 근사할 때 반군 $e^{-t\hat{H}}$가 연산자 노름에서 수렴하는가?
• RQ5 적절한 경계 조건 정규화 하에서 근사 연산자의 고유값과 고유함수는 전체 연산자 $\hat{H}$의 고유값과 고유함수로 수렴하는가?

주요 결과

• 잠재력 $V$가 국소 적분 가능하고 아래로 유계이며, 무한대에서 $\log|x|$보다 빠르게 증가할 경우, 모든 $t > 0$에 대해 반군 $e^{-t\hat{H}}$는 트레이스-클래스이다.
• 반군은 브라운 운동의 국소 시간과 분포적 노이즈 $\xi$를 포함한 파인만-하스 공식을 통한 확률적 표현을 갖는다.
• 로빈 경계 조건을 갖는 유계 구간으로 전체 도메인을 근사할 경우, 반군 수렴 $K_n(t) \to K(t)$가 연산자 노름에서 성립하며, 경계 조건 행렬 $C_n \to B$이다.
• 모든 $n \to \infty$에서 고유값 $\lambda_k(H_n) \to \lambda_k(H)$와 고유함수 $\psi_k(H_n) \to \psi_k(H)$가 $L^2$-노름에서 수렴하여 반군의 생성자가 $\hat{H}$임을 보장한다.
• 이 방법은 랜덤 매트릭스 이론에서 유래한 기법—특히 스토하스틱 에어리 연산자에 사용된 기법—을 곱셈형 노이즈가 있는 일반적인 1차원 슈뢰딩거 연산자로 일반화한다.
• 결과는 전체 실수선 $\mathbb{R}$, 반직선 $(0,\infty)$, 유계 구간 $(0,b)$에 대해 성립하며, 로빈 및 혼합 경계 조건을 포함한 다양한 경계 조건을 수용한다.