[논문 리뷰] Semigroups of Operators on Spaces of Fuzzy-Number-Valued Functions with Applications to Fuzzy Differential Equations

Ciprian G. Gal, Sorin G. Gal|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 17.

Fuzzy Systems and Optimization참고 문헌 9인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 퍼지 수 값 함수의 공간에서 연산자에 대한 세미군을 도입하여, 고전적 연산자 이론을 퍼지 미분방정식으로 확장한다. 퍼지 연산자 지수를 사용한 변환 매개변수 공식을 수립함으로써, 퍼지 코시 문제와 퍼지 파동 방정식에 대한 명시적 해를 도출하며, 이는 추가적인 퍼지 항을 포함한 날것의 해를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce and study semigroups of operators on spaces of fuzzy-number-valued functions, and various applications to fuzzy differential equations are presented. Starting from the space of fuzzy numbers, many new spaces sharing the same properties are introduced. We derive basic operator theory results on these spaces and new results in the theory of semigroups of linear operators on fuzzy-number kind spaces. The theory we develop is used to solve classical fuzzy systems of differential equations, including, for example, the fuzzy Cauchy problem and the fuzzy wave equation. These tools allow us to obtain explicit solutions to fuzzy initial value problems which bear explicit formulas similar to the crisp case, with some additional fuzzy terms which in the crisp case disappear. The semigroup method displays a clear advantage over other methods available in the literature (i.e., the level set method, the differential inclusions method and other "fuzzification" methods of the real-valued solution) in the sense that the solutions can be easily constructed, and that the method can be applied to a larger class of fuzzy differential equations that can be transformed into an abstract Cauchy problem.

연구 동기 및 목표

• 퍼지 수 값 함수의 공간에서 연산자 세미군 이론을 일관성 있게 구축하여, 퍼지 공간의 비선형성에 대응한다.
• 표준 선형 대수학이 비분배적 스칼라 곱으로 인해 실패하는 퍼지 환경에서 고전적 세미군 이론을 확장한다.
• 추상 코시 문제 공식을 활용하여, 특히 퍼지 코시 문제와 퍼지 파동 방정식을 포함한 퍼지 미분방정식을 해결한다.
• 클래식 케이스와 유사한 명시적이고 구성 가능한 해를 제공하며, 고전적 극한에서 사라지는 추가적인 퍼지 항을 포함한다.
• 퍼지 연산자 세미군에서 안정성 분석과 초기 자료에 대한 연속적 의존성에 대한 프레임워크를 구축한다.

제안 방법

• 적절한 거리 함수를 갖춘 퍼지 수 값 함수 공간인 $C([a,b];\mathbb{R}_F)$, $L^p([a,b];\mathbb{R}_F)$, $C^p([a,b];\mathbb{R}_F)$를 정의한다.
• 연산자 작용을 정의하기 위해 퍼지 산술 연산 $\oplus$ (퍼지 덧셈)과 $\odot$ (퍼지 스칼라 곱)을 도입한다.
• $\oplus$-합을 사용하여 세미군 $T(t)$를 정의하는 퍼지 지수 $e^{t \odot A}(u_0) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} A^k(u_0)$를 구성한다.
• 변환 매개변수 공식 $u(t) = T(t)(u_0) \oplus \int_0^t T(t-s)g(s)\,ds$를 적용하여 추상 퍼지 코시 문제를 해결한다.
• 후쿠하라 도함수와 일반화된 미분 가능성을 사용하여 퍼지 편미분방정식, 특히 퍼지 파동 방정식을 다룬다.
• 파동 방정식 해에 대한 부분 급수 근사 $u_m(t,x) = \sum_{p=0}^m \frac{t^{2p}}{(2p)!} \odot u_1^{(2p)}(x) \oplus t \odot u_2(x)$의 균일 수렴성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퍼지 수 값 함수 공간의 비선형적 구조에도 불구하고 세미군 이론을 확장할 수 있는가?
• RQ2 변환 매개변수 공식 $u(t) = T(t)(u_0) \oplus \int_0^t T(t-s)g(s)\,ds$는 퍼지 코시 문제에 대해 유효한 해를 제공하는가?
• RQ3 퍼지 미분방정식의 해는 그 클래식한 대응과 어떻게 다를까? 추가적인 퍼지 항은 무엇인가?
• RQ4 후쿠하라 도함수와 급수 근사의 균일 수렴성을 활용하여 퍼지 파동 방정식을 연산자 세미군을 통해 해결할 수 있는가?
• RQ5 퍼지 코시 문제의 해는 유일한가? 그리고 초기 자료에 대해 연속적으로 의존하는가?

주요 결과

• 적절한 $\oplus$-합을 사용한 세미군 $T(t)(u_0) = e^{t \odot A}(u_0) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} A^k(u_0)$는 퍼지 코시 문제에 대한 구성 가능한 해를 제공한다.
• 퍼지 파동 방정식의 해는 $u(t,x) = \cosh(t \odot A)(u_1(x)) \oplus t \odot u_2(x)$로 주어지며, 여기서 $\cosh(t \odot A)$는 거리 공간 내 수렴 급수이다.
• 열 $u_m(t,x) = \sum_{p=0}^m \frac{t^{2p}}{(2p)!} \odot u_1^{(2p)}(x) \oplus t \odot u_2(x)$는 $t$에 대한 컴팩트 구간에서 정확한 해를 균일하게 근사한다.
• 초기 함수가 실수 값을 갖는 경우, 퍼지 해는 고전적 해로 감소하여 클래식 케이스와의 일致성을 확인한다.
• 해에는 $E(u_0,v_0) \odot h(t)$와 같은 추가적인 퍼지 항이 포함되며, 여기서 $h(t) = \frac{1}{4}[\cosh(t\sqrt{2}) - t^2 - 1]$이며, 이는 클래식 극한에서 사라진다.
• 이 방법을 통해 $\{T(t)\}_{t \geq 0}$에 대한 리아푸노프 안정성 정리의 형식화가 가능하며, 고전적 안정성 분석을 퍼지 세미군으로 확장할 수 있다.