[논문 리뷰] Semigroups of valuations dominating local domains

Steven Dale Cutkosky|ArXiv.org|2008. 01. 02.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 등차성분수를 가진 Noetherian 국소환을 지배하는 값을 가진 값 반군이 되기 위한 새로운 필수 조건을 제시한다. 저자들은 모든 d ∈ ℕ에 대해 [0, (d+1)s₀) 간격 내의 반군 원소 수가 이항계수 C(n+d, n)보다 작다는 것을 증명함으로써, 순서형이 ω인 ℚ₊의 잘 순서가 붙은 부분반군이지만 어떤 등차성분수를 가진 Noetherian 국소환의 값 반군으로 나타날 수 없는 반례를 구성한다. 이는 이전에 알려진 제약 조건(잘 순서가 붙어 있음과 Abhyankar 부등식)만으로는 값 반군을 완전히 특성화할 수 없음을 보여준다.

ABSTRACT

A new criterion is given for a semigroup to be the semigroup of a valuation dominating an equicharacteristic local domain. The criterion is used to construct examples of well ordered subsemigroups of the positive rational numbers which are of ordinal type omega, but are not the value semigroup of a valuation on an equicharacteristic noetherian local domain. This shows that the necessary conditions on value semigroups given in Appendix 3 to Zariski and Samuel's book ``Commutative Algebra'' are not sufficient.

연구 동기 및 목표

• 등차성분수 Noetherian 국소환을 지배하는 값 반군에 대한 새로운 필수 제약 조건을 규명하기.
• 값 반군의 잘 순서가 붙어 있음과 Abhyankar 부등식이 등차성분수 Noetherian 국소환의 값 반군을 완전히 특성화하는지 여부에 대한 열린 문제를 다루기.
• 등차성분수 Noetherian 국소환에서 어떤 값 반군으로도 나타날 수 없는, 순서형이 ω인 ℚ₊의 잘 순서가 붙은 부분반군의 구체적 예를 제시하기.
• 1차원 및 2차원 정칙 국소환의 값 반군 이론을 고차원 정칙 국소환으로 확장하기.
• 클래식한 제약 조건을 만족하더라도 일부 반군이 값 반군이 될 수 없음을 제거하는 기준을 제공하기.

제안 방법

• 임bedding 차원이 n인 등차성분수 국소환 A에 대해, 모든 d ∈ ℕ에 대해 Sᴬ(ν) ∩ [0, (d+1)s₀) 내의 원소 수가 C(n+d, n)보다 작다는 것을 증명하는 정리 2.1을 증명하기.
• 국소환 A의 mₐ-적성 완비화 Â를 사용하고, 무한대 값 원소를 갖는 소이데알 Q에 대한 Â/Q 위에 유도된 값을 분석하기.
• R = k[[x₁,…,xₙ]]의 형식적 멱급수환에서 Â/Q로의 k-代수 전사 동형사상 φ: R → Â/Q를 구성하여, 값을 R/P 위의 순서 1의 값에 대한 값과 연결하기.
• 정리 1.2를 적용하여, R/P 위의 값에 대해 F_{d,n} 내의 서로 다른 값 수를 제한하는 부등식을 유도하기.
• 국소환 A의 다항식 부분환 Aₙ = k[x₁,…,xₙ] 위로 값의 제한을 두고, Aₙ 내의 코시 수열이 mₐ-적성 위상에서 수렴한다는 사실을 이용하여 Aₙ 위의 값과 R 위의 값 간의 관계를 설정하기.
• 보조정리 2.2를 사용하여 결과를 정칙 국소환으로 특수화하여, 그들의 값 반군에도 동일한 경계가 적용됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클래식한 제약 조건인 값 반군의 잘 순서가 붙어 있음과 Abhyankar 부등식이 등차성분수 Noetherian 국소환을 지배하는 값 반군을 완전히 특성화하는가?
• RQ2 등차성분수 Noetherian 국소환에서 어떤 값 반군으로도 나타날 수 없는, 순서형이 ω인 ℚ₊의 잘 순서가 붙은 부분반군이 존재하는가?
• RQ3 정칙 국소환을 지배하는 값을 가진 값 반군이 되기 위해 ℝ₊의 부분반군이 만족해야 할 새로운 필수 조건은 무엇인가?
• RQ4 연속적인 간격 내에서 반군 생성자 수의 증가율은 국소환의 차원과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 구간 [0, (d+1)s₀) 내의 값 수에 대한 경계 C(n+d, n)을 이용하여, 반군 실현 가능성에 대한 명시적 장벽을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임베딩 차원이 n인 등차성분수 국소환 A에 대해, 모든 d ∈ ℕ에 대해 구간 [0, (d+1)s₀) 내의 값 반군 Sᴬ(ν) 원소 수가 이항계수 C(n+d, n)보다 작다는 것을 증명한다.
• 모든 n ≥ 1에 대해 |U ∩ [n, n+1)| = C(2n, n)를 만족하는, 순서형이 ω인 ℚ₊의 잘 순서가 붙은 부분반군 U를 명시적으로 구성하였으며, 이는 정리 2.1의 경계를 위반한다.
• 이 구성은 클래식한 제약 조건(잘 순서가 붙어 있음과 Abhyankar 부등식)만으로는 등차성분수 Noetherian 국소환의 값 반군을 특성화할 수 없음을 보여주는 반례를 제공한다.
• 정리 2.1의 경계는 1차원 정칙 국소환의 경우에도 날카롭지 않으며, 실제로 [0, (d+1)s₀) 내의 값 수는 d로, C(1+d, 1) = d+1의 경계보다 훨씬 낮다.
• 보조정리 2.2는 정칙 국소환의 차원이 n일 경우에도 동일한 경계가 그들의 값 반군에 적용됨을 보여주며 결과를 강화한다.
• 이러한 반례의 존재는 고차원에서 값 반군을 완전히 특성화하기 위해 추가적인 비자명한 제약 조건이 필요하다는 것을 보여준다.