[논문 리뷰] Semiinfinite Flags. I. Case of global curve $P^1$

Michael Finkelberg, Ivan Mirković|ArXiv.org|1997. 07. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 단순형 군 $G$의 플라그 다양체로의 퀀티맵을 매개변수로 하는 $ℝ^1$ 위의 글로벌 준무한 플라그 공간을 도입하고, 인수성 성질을 갖는 펄스브 복합체의 범주 $PS$를 구성한다. 이는 아핀 그라스만리안 위의 이와하오-상수 펄스브 복합체에서 $PS$로의 정확한 콘볼루션 함수를 정의하며, 분할된 승수를 갖는 양자군 모듈러스에서 작은 양자군 모듈러스로의 제한을 기하학적으로 실현하는 데 추측된다.

ABSTRACT

The Semiinfinite Flag Space appeared in the works of B.Feigin and E.Frenkel, and under different disguises was found by V.Drinfeld and G.Lusztig in the early 80-s. Another recent discovery (Beilinson-Drinfeld Grassmannian) turned out to conceal a new incarnation of Semiinfinite Flags. We write down these and other results scattered in folklore. We define the local semiinfinite flag space attached to a semisimple group $G$ as the quotient $G((z))/HN((z))$ (an ind-scheme), where $H$ and $N$ are a Cartan subgroup and the unipotent radical of a Borel subgroup of $G$. The global semiinfinite flag space attached to a smooth complete curve $C$ is a union of Quasimaps from $C$ to the flag variety of $G$. In the present work we use $C=P^1$ to construct the category $PS$ of certain collections of perverse sheaves on Quasimaps spaces, with factorization isomorphisms. We construct an exact convolution functor from the category of perverse sheaves on affine Grassmannian, constant along Iwahori orbits, to the category $PS$. Conjecturally, this functor should correspond to the restriction functor from modules over quantum group with divided powers to modules over the small quantum group.

연구 동기 및 목표

• $ℝ^1$ 위의 글로벌 준무한 플라그 공간을 단순형 군 $G$의 플라그 다양체로의 퀀티맵을 매개변수로 하는 기하적 대상으로 체계화한다.
• 퀀티맵 공간 위에 인수성 동형사상이 있는 펄스브 복합체의 범주 $PS$를 정의하여 표현론적으로 중요한 기하적 구조를 포착한다.
• 아핀 그라스만리안 위의 이와하오-상수 펄스브 복합체의 범주에서 $PS$로의 정확한 콘볼루션 함수를 구성한다.
• 분할된 승수를 갖는 양자군 모듈러스에서 작은 양자군 모듈러스로의 제한 함수를 기하학적 사타케 유형 대응을 통해 실현한다.

제안 방법

• $H$를 카르탕 부분군, $N$을 $G$의 보렐 부분군의 유니포텐트 루트 부분군이라 할 때, 국소 준무한 플라그 공간을 인수 스킴 $G((z))/HN((z))$로 정의한다.
• $ℝ^1$ 위의 글로벌 준무한 플라그 공간을 $G$의 플라그 다양체로의 퀀티맵들의 합집합으로 구성한다.
• 퀀티맵 공간에 인수성 구조를 부여하여, 이 구조와 호환되는 펄스브 복합체의 범주 $PS$를 정의할 수 있도록 한다.
• 아핀 그라스만리안과 베일린슨-드린펠드 그라스만리안의 기하학을 이용하여 콘볼루션 함수를 정의하고, 이는 이와하오-상수 펄스브 복합체를 $PS$로 매핑한다.
• $G((z))/HN((z))$의 인수 스킴 구조를 이용해 국소 준무한 플라그 공간을 모델링하고, $ℝ^1$ 위의 전반적 구성과 연결한다.
• 베일린슨-드린펠드 그라스만리안에 대한 기존 결과를 활용하여 준무한 플라그의 숨겨진 표현을 밝혀내고, 이를 퀀티맵 접근과 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ℝ^1$ 위의 글로벌 준무한 플라그 공간을 플라그 다양체로의 퀀티맵을 매개변수로 하는 기하적 대상으로 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ2 퀀티맵 공간 위의 펄스브 복합체는 퀀티맵 모듈라이의 인수성 성질에서 어떤 구조를 유도하는가?
• RQ3 아핀 그라스만리안 위의 이와하오-상수 펄스브 복합체에서 $PS$로의 콘볼루션 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 콘볼루션 함수의 표현론적 의의는 무엇이며, 특히 양자군과의 관계에서 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• $ℝ^1$ 위의 글로벌 준무한 플라그 공간은 $G$의 플라그 다양체로의 퀀티맵들의 합집합으로 실현되어, 글로벌 설정에서 준무한 플라그 다양체의 기하적 모델을 제공한다.
• 퀀티맵 공간 위에 인수성 동형사상이 있는 펄스브 복합체의 범주 $PS$가 구성되었으며, 이는 아핀 그라스만리안 위의 국소 시스템의 인수성 성질을 일반화한다.
• 아핀 그라스만리안 위의 이와하오-상수 펄스브 복합체의 범주에서 $PS$로의 정확한 콘볼루션 함수가 정의되었으며, 이는 인수성과 기하적 구조를 유지한다.
• 이 콘볼루션 함수는 분할된 승수를 갖는 양자군 모듈러스에서 작은 양자군 모듈러스로의 제한 함수와 추측적으로 동형이며, 이는 이론적 구조의 기하학적 실현을 제공한다.