[논문 리뷰] Semilinear stochastic partial differential equations: central limit theorem and moderate deviations

Rangrang Zhang, Jie Xiong|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인에서 시공간 백색잡음에 의해 구동되는 일련의 비선형성 있는 확률 편미분방정식(SPDE)에 대해 중심극한정리(CLT)와 중간편차원리(MDP)를 수립한다. 약한 수렴 접근법과 변분 표현을 사용하여, 해의 정규화된 편차가 CLT 스케일링 하에서 가우시안 과정으로 수렴하고, 중간 스케일링 하에서 MDP를 만족함을 증명한다. 이는 스토크라스틱 버거스 방정식 및 반응-확산 유형 방정식에 적용 가능하다.

ABSTRACT

In this paper, we establish a central limit theorem (CLT) and the moderate deviation principles (MDP) for a class of semilinear stochastic partial differential equations driven by multiplicative noise on a bounded domain. The main results can be applied to stochastic partial differential equations of various types such as the stochastic Burgers equation and the reaction-diffusion equations perturbed by space-time white noise.

연구 동기 및 목표

• 시공간 백색잡음에 의해 구동되는 비선형 SPDE의 해에 대해 중심극한정리(CLT)를 수립하는 것.
• 동일한 SPDE 클래스에 대해 중간편차원리(MDP)를 유도하여 CLT와 대규모편차 사이의 갭을 메우는 것.
• 시공간 백색잡음 맥락에서 시간에 의존하는 비-세미마링갈라르 인수를 가진 스토크라스틱 적분의 최대값을 추정하는 데 도전하는 것.
• 기존의 시간-백색잡음 모델에서의 CLT 및 MDP 결과를 더 복잡한 시공간 백색잡음 설정으로 확장하는 것.
• 곱셈 노이즈를 가진 SPDE 모델에서 점근적 신뢰구간을 통한 통계적 추론을 위한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• Dupuis와 Ellis의 약한 수렴 접근법을 적용하여 MDP를 증명하며, 유계 연속 함수에 대한 라플라스 변환의 변분 표현 공식에 의존한다.
• Boué-Dupuis 및 Budhiraja-Dupuis의 변분 표현을 사용하여 시공간 백색잡음이 있는 SPDE에 대해 라플라스 원리와 MDP를 연결한다.
• 중간 스케일링 $ \lambda(\varepsilon) \to \infty $, $ \sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon) \to 0 $ 하에서 편차 과정 $ X^\varepsilon(t) = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon)}(u^\varepsilon - u^0)(t) $ 를 분석한다.
• 해의 차이에 대한 스토크라스틱 적분 표현을 통한 페르투르베이션 방법을 사용하여, 편차를 한계 가우시안 과정과 수렴하는 잔여항으로 분해한다.
• 이토의 공식과 그로워발 유사 추정을 사용하여 스토크라스틱 적분의 초과노름을 제어함으로써, 정규화된 편차 과정의 유계성과 법칙 수렴성을 확보한다.
• 선형 성장 조건과 이차 성장 조건을 가정할 때, 노이즈 계수 $ \sigma $ 에 의해 구동되는 선형화된 SPDE를 만족하는 한계 과정이 잔여항의 기댓값에 의해 유도됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간 백색잡음에 의해 구동되는 비선형 SPDE의 해는 노이즈 강도 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 중심극한정리를 만족하는가?
• RQ2 스케일링 $ \lambda(\varepsilon) $ 가 CLT와 대규모편차 영역 사이에 있을 경우, 이러한 SPDE에 대해 중간편차원리를 수립할 수 있는가?
• RQ3 시공간 백색잡음 맥락에서 시간에 의존하는 비-세미마링갈라르 인수를 가진 스토크라스틱 적분의 최대값을 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 중간 스케일링 하에서 $ C([0,T];L^2([0,1])) $ 에서 정규화된 편차 $ X^\varepsilon $ 의 한계 행동은 어떠한가?
• RQ5 MDP에서의 한계 과정은 노이즈 계수 $ \sigma $ 에 의해 구동되는 선형화된 SPDE의 해와 동일한 분포를 가진다 할 수 있는가?

주요 결과

• 시공간 백색잡음이 있는 비선형 SPDE의 해에 대해 중심극한정리가 성립하며, 정규화된 편차 $ X^\varepsilon $ 가 $ C([0,T];L^2([0,1])) $ 에서 가우시안 과정으로 법칙 수렴한다.
• 중간 스케일링 $ \lambda(\varepsilon) \to \infty $, $ \sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon) \to 0 $ 하에서 SPDE에 대해 중간편차원리(MDP)가 수립되었으며, 약한 수렴 접근법을 통해 비율 함수가 유도되었다.
• MDP에서의 한계 과정은 노이즈 계수 $ \sigma $ 에 의해 구동되는 선형화된 SPDE를 만족하며, $ b $ 와 $ g $ 의 프레셰 도함수로부터 유래된 추가적인 드리프트 항이 존재한다.
• 시간에 의존하는 인수를 가진 스토크라스틱 적분의 최대값을 추정하는 데 기여하는 기술적 과제를, 한계 가우시안 과정과 확률적으로 수렴하는 잔여항으로 분해함으로써 극복하였다.
• 정규화된 해 $ \mathcal{G}^\varepsilon(W + \lambda(\varepsilon)\int h^\varepsilon) $ 가 $ \mathcal{G}^0(\int h) $ 로 법칙 수렴함을 증명하여, 주어진 스케일링 하에서 MDP가 확인되었다.
• 결과는 스토크라스틱 버거스 방정식과 시공간 백색잡음이 있는 스토크라스틱 반응-확산 방정식과 같은 중요한 모델에 적용 가능하며, 이는 이전의 LDP 및 CLT 결과를 MDP 영역으로 확장한다.