[논문 리뷰] Semisimple Zariski closure of Coxeter groups

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 24.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비암호, 기약 Coxeter 군의 기하 표현이 티츠 형식의 정규화된 직교군으로 사상될 때도 여전히 충실함을 보이는 뉴 증명을 제공한다. 상대 카즈단의 성질 (T)을 사용하여, 이러한 군들이 자명한 아메니타리 라디칼을 가지며, 그 감소 C*-대수는 단순하고 유일한 정규화된 추적을 가짐을 증명한다. 이는 이전 결과에서 요구하던 티츠 형식의 비퇴화 조건을 초월한다.

ABSTRACT

Let W be an irreducible, finitely generated Coxeter group. The geometric representation provides an discrete embedding in the orthogonal group of the so-called Tits form. One can look at the representation modulo the kernel of this form; we give a new proof of the following result of Vinberg: if W is non-affine, then this representation remains faithful. Our proof uses relative Kazhdan Property (T). The following corollary was only known to hold when the Tits form is non-degenerate: the reduced C*-algebra of W is simple with a unique normalized trace. Some other corollaries are pointed out.

연구 동기 및 목표

• 비암호, 기약 Coxeter 군의 기하 표현이 충실함을 보이는 비닝의 결과에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 감소 C*-대수의 단순성과 유일한 정규화된 추적을 가지는 것으로 알려진 결과를 비퇴화된 티츠 형식의 경우를 초월하여 확장한다.
• 상대 카즈단 성질 (T)을 사용하여 비암호 기약 Coxeter 군이 자명한 아메니타리 라디칼을 가짐을 증명한다.
• 기초적인 Coxeter 군을 특성화하고, 그 구조가 감소 C*-대수의 단순성과 연결됨을 밝힌다.
• 비암호 Coxeter 군이 직교군 내에서 자리를 잡는 자리스키 폐쇄가 단순하고 자리스키 밀도가 있음을 보여준다.

제안 방법

• 대칭 이차형식의 항목이 $-\cos(\pi/m_{st})$인 티츠 형식의 직교군으로 Coxeter 군의 기하 표현을 정의한다.
• 상대 카즈단 성질 (T)을 적용하여, $(W, \Lambda)$가 상대 성질 (T)을 가지는 임의의 부분군 $\Lambda \subset W$는 유한해야 하며, 이는 순환 부분군의 자명성을 이끈다.
• 군 $W$가 프로젝티브 공간 $P(V^*)$ 위에서 작용할 때 어떤 보렐 확률 측도도 보존하지 않는다는 것을 보이는 것으로 문제를 축소한다. 이는 푸르스텐베르크의 불변 측도 결과를 활용한다.
• 연결된 단순 군 $\mathrm{O}_0(\bar{B})$가 $T_f$ 위에서 작용할 때 불변 벡터가 없음을 이용하여, 불변 측도의 존재와 모순된다.
• 유한 체적 부분군과 $W \ltimes V$ 내의 코컴 pact 임베딩을 통해 상대 성질 (T)가 원래 군으로 이행됨을 이용한다.
• 기존 결과를 적용한다: 이산 군이 컴acts 성분이 없는 연결 단순 리 군에 자리스키 밀도로 통합되면, 그 감소 C*-대수는 단순하고 유일한 정규화된 추적을 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비암호, 기약 Coxeter 군의 기하 표현이 티츠 형식의 핵심에 제한될 때도 여전히 충실한가?
• RQ2 기하적 또는 대수적 방법이 아닌 상대 카즈단 성질 (T)을 사용하여 충실성 결과를 재증명할 수 있는가?
• RQ3 Coxeter 군의 감소 C*-대수가 단순하고 유일한 정규화된 추적을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비암호 Coxeter 군의 아메니타리 라디칼의 구조는 어떠한가?
• RQ5 Coxeter 군이 최대 부분군 $\Lambda$에 대한 코스켓 공간 $W/\Lambda$에 충실하게 작용하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 비암호, 기약 Coxeter 군의 기하 표현은 형식이 퇴화되더라도 여전히 티츠 형식의 직교군에서 충실하다.
• 모든 비암호, 기약 Coxeter 군은 자명한 아메니타리 라디칼을 가지며, 즉 $R(W) = \{1\}$이다.
• Coxeter 군의 감소 C*-대수는 단순하고 유일한 정규화된 추적을 가지는 것이며, 이는 모든 기약 성분이 비암호일 때에만 성립한다.
• 무한하고 유한 생성된 Coxeter 군은 기약이면서 비암호일 때에만 기초적이다.
• 비암호의 경우, 군 $W$는 $p \geq 2$, $q \geq 1$인 단순 직교군 $\mathrm{O}_0(p,q)$에 자리스키 밀도 부분군으로 통합된다.
• 증명은 $\alpha(W) \cap T_f$가 $P(V^*)$ 위에서 작용할 때 어떤 확률 측도도 보존하지 않음을 보여주며, 이는 상대 성질 (T) 추론의 핵심이다.