[논문 리뷰] Semistable models for modular curves of arbitrary level

Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 무한 수준의 Lubin-Tate 공간이 완전한 피델트 공간임을 보이고, 이를 통해 $`\mathbf{Z}_p`$의 충분히 분기된 확장 위에서 모듈라 곡선 $X(Np^m)$에 대한 준안정 모델을 구성한다. 핵심 결과는 특별 섹션에 오직 일반적인 이중점 특이점만을 갖는 호환성 있는 준안정 모델의 가닥이며, 이는 무게 스펙트럴 시퀀스를 통한 코homological 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We produce an integral model for the modular curve $X(Np^m)$ over the ring of integers of a sufficiently ramified extension of $\mathbf{Z}_p$ whose special fiber is a {\em semistable curve} in the sense that its only singularities are normal crossings. This is done by constructing a semistable covering (in the sense of Coleman) of the supersingular part of $X(Np^m)$, which is a union of copies of a Lubin-Tate curve. In doing so we tie together nonabelian Lubin-Tate theory to the representation-theoretic point of view afforded by Bushnell-Kutzko types. For our analysis it was essential to work with the Lubin-Tate curve not at level $p^m$ but rather at infinite level. We show that the infinite-level Lubin-Tate space (in arbitrary dimension, over an arbitrary nonarchimedean local field) has the structure of a perfectoid space, which is in many ways simpler than the Lubin-Tate spaces of finite level.

연구 동기 및 목표

• 모듈라 곡선 $X(Np^m)$에 대해 $`\mathbf{Z}_p`$의 분기 확장 위에 준안정 모델을 구성하고, 특별 섹션에 오직 일반적인 이중점 특이점만 존재하도록 하는 것.
• 무한 수준의 Lubin-Tate 공간을 분석하여 비아벨리안 Lubin-Tate 이론과 Bushnell-Kutzko 유형을 통합하는 것.
• 준안정 환원을 통해 잭텟-랑글랑즈 및 국소 랑글랑즈 상응관계의 국소적 기하적 실현을 제공하는 것.
• 이전의 $X_0(Np^k)$에 대한 안정 모델 결과를 임의의 수준 $p^m$으로 확장하는 것.
• 비아벨리안 국소 필드 위에서 무한 수준의 Lubin-Tate 공간이 완전한 피델트 공간임을 증명하고, 유한 수준 분석을 단순화하는 것.

제안 방법

• Coleman의 넓은 오픈 곡선 이론을 활용하여, $X(Np^m)$의 초특이점 부분의 준안정 커버링을 Lubin-Tate 곡선의 합집합으로 구성한다.
• 유한 수준 대비 기하학적 단순성 덕분에, 무한 수준의 Lubin-Tate 모듈리 문제를 완전한 피델트 공간으로 분석한다.
• Lubin-Tate 타워 위에서 $\operatorname{GL}_2(K) \times D^\times \times W_K$의 작용을 이용하여 표현 이론과 기하학을 연결한다.
• 사슬 순서와 스트라타 이론을 적용하여, CM 점에서의 호환 가능한 수준 구조와 연결 순서를 정의한다.
• 좌표계와 행렬식 사상의 근사치를 사용하여, Lubin-Tate 타워 내 특수 아핀이드 $\mathcal{Y}_{\mathbf{x},m}$를 정의한다.
• 브라우트-티츠 트리 $\mathcal{T}^\circ$ 를 $\Gamma^1(p^m)$ 으로 약분한 후, CM 점에 대응하는 유리성분을 제거하고 경계점에 Igusa 곡선 $\operatorname{Ig}(p^m)$ 을 부착함으로써 특별 섹션의 이중 그래프를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분기된 $`\mathbf{Z}_p`$ 확장 위에서 $X(Np^m)$에 대해 오직 일반적인 이중점 특이점만을 갖는 준안정 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ2 무한 수준의 Lubin-Tate 공간은 유한 수준의 Lubin-Tate 공간과 어떻게 관련되어 있으며, 완전한 피델트 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 Lubin-Tate 곡선을 통한 초특이점 부분의 준안정 커버링을 통해 모듈라 곡선의 준안정 환원을 달성할 수 있는가?
• RQ4 무한 수준의 Lubin-Tate 공간이 비아벨리안 Lubin-Tate 이론과 잭텟-랑글랑즈 상응관계를 어느 정도 실현하는가?
• RQ5 준안정 모델의 특별 섹션의 구조는 어떠한가? 구성 요소와 교차 승수는 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 임의의 차원을 가진 비아르키메데스 국소 필드 위에서 무한 수준의 Lubin-Tate 공간은 완전한 피델트 공간이며, 이는 유한 수준의 Lubin-Tate 공간 기하학을 단순화한다.
• 유한 확장 $\hat{K}^{\operatorname{nr}}$ 위에서 $\mathcal{M}_m$의 수준 $p^m$에 대한 호환성 있는 준안정 모델 $\hat{\mathcal{M}}_m$의 가닥이 존재한다.
• 특별 섹션 $\hat{\mathcal{M}}_m$의 특별 섹션은 오직 일반적인 이중점 특이점만을 갖는 곡선이며, 각 기약 성분은 브라우트-티츠 트리의 정점 $v$에 대해 $\overline{\mathcal{Z}}_v^{(m)}$ 의 완비화이다.
• 비기초 정점에 대응하는 구성 요소는 유리 곡선(종수 0)이며, 기초 정점에 대응하는 구성 요소는 양의 종수를 가지며, 해당 곡선 $C_v$ 로 순수하게 비가역적 사상이 된다.
• 적당히 큰 $m$에 대해 $\Gamma(\pi^m) \cap \mathcal{K}_{\mathbf{x},v}^1$ 의 작용은 $C_v$ 위에서 자명해지며, 사상 $\overline{\mathcal{Z}}_v^{(m)} \to C_v$ 는 순수하게 비가역적이다.
• 특별 섹션의 이중 그래프는 브라우트-티츠 트리 $\mathcal{T}^\circ$ 를 $\Gamma^1(p^m)$ 으로 약분하고, CM 점에 대응하는 끝점의 유리성분을 제거하며, 경계점에 Igusa 곡선 $\operatorname{Ig}(p^m)$ 을 부착함으로써 구성된다.