[논문 리뷰] Sensitivity analysis and incompressible Navier-Stokes-Poisson limit of Vlasov-Poisson-Boltzmann equations with uncertainty

Ning Jiang, Xu Zhang|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 02.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 39인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초기 데이터와 충돌 커널에 대한 난수 불확실성을 가진 Vlasov-Poisson-Boltzmann 방정식의 압축성 없는 Navier-Stokes-Poisson 근사에 대해 hypocoercivity 기반 민감도 분석을 사용하여 수립한다. 이는 Hilbert 전개에 의존하지 않고도 처음으로 엄밀하고 정량적인 수렴 속도를 확보한 것으로, 결정론적 유체 근사의 결과를 난수가 있는 경우로 확장한 것이다. 초기 데이터에 운동론적 및 유체 성분이 모두 포함된 복합적인 초기 조건을 고려한다.

ABSTRACT

For the Vlasov-Poisson-Boltzmann equations with random uncertainties from the initial data or collision kernels, we proved the sensitivity analysis and energy estimates uniformly with respect to the Knudsen number in the diffusive scaling using hypocoercivity method. As a consequence, we also justified the incompressible Navier-Stokes-Poisson limit with random inputs. In particular, for the first time, we obtain the precise convergence rate {\em without} employing any results based on Hilbert expansion. We not only generalized the previous deterministic Navier-Stokes-Poisson limits to random initial data case, also improve the previous uncertainty quantification results to the case where the initial data include both kinetic and fluid parts.

연구 동기 및 목표

• 비례 상수 ε에 대해 균일한 Knudsen 수 기반의 확산 스케일링에서 초기 입력이 난수를 포함하는 Vlasov-Poisson-Boltzmann 시스템의 압축성 없는 Navier-Stokes-Poisson 근사를 정당화하기.
• Knudsen 수에 대해 균일한 에너지 추정을 사용하여 초기 데이터와 충돌 커널에 대한 불확실성 하에서 시스템의 민감도 분석 수행.
• 운동론적 및 유체 성분을 모두 포함하는 초기 데이터를 고려하여 결정론적 Navier-Stokes-Poisson 근사를 난수 초기 데이터로 일반화하기.
• Hilbert 전개 기법을 사용하지 않고도 유체 근사로의 정밀한 수렴 속도 확립하기.

제안 방법

• Knudsen 수 ε에 대해 균일한 에너지 추정을 도출하기 위해 hypocoercivity 방법을 적용.
• 선형화된 방정식을 통해 초기 데이터 및 충돌 커널의 난수 변동에 대한 해의 민감도 분석 수행.
• 운동론적 동역학에서 유체 역학으로의 연결을 위해 Vlasov-Poisson-Boltzmann 시스템의 확산 스케일링 적용.
• 비선형 항의 $L^2$ 노름을 추정하기 위해 푸리에 분석 및 Plancherel 정리 적용.
• 비선형 항 $N_1(g_ ho)$를 저주파 및 고주파 성분으로 분해하여 극한에서의 오차를 제어.
• 시간에 대한 부분 적분과 리졸베이트 추정을 사용하여 선형화된 연산자에서 발생하는 진동적 적분을 유계화.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Vlasov-Poisson-Boltzmann 시스템이 난수 불확실성을 가진 조건에서 압축성 없는 Navier-Stokes-Poisson 방정식으로 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ2 운동론적 및 유체 성분을 모두 포함하는 난수 초기 데이터에 대해 Navier-Stokes-Poisson 근사는 정당화될 수 있는가?
• RQ3 Hilbert 전개 기법을 사용하지 않고도 정량적 수렴 속도를 확보할 수 있는가?
• RQ4 초기 데이터 및 충돌 커널의 불확실성은 시스템의 장기적 행동과 유체 근사에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 초기 데이터 및 충돌 커널에 난수가 포함된 Vlasov-Poisson-Boltzmann 시스템에 대해 Knudsen 수에 대해 균일하게 성립하는 압축성 없는 Navier-Stokes-Poisson 근사를 확립한다.
• Hilbert 전개를 사용하지 않고도 $\mathcal{O}(\epsilon)$ 수준의 정밀한 수렴 속도를 확보하였으며, 이는 새로운 기여이다.
• 에너지 추정이 ε에 대해 균일하므로, 난수 입력에 대한 해의 민감도 분석이 정량화되었으며, 이는 불확실성 하에서의 유체 근사의 강건성을 보장한다.
• 기존의 결정론적 유체 근사 결과를 난수 경우로 확장하여 운동론적 및 유체 성분이 모두 포함된 초기 데이터를 다루었으며, 이는 이전에 다루지 않은 영역이다.
• 극한에서 오차 항의 $L^2$ 노름이 $\mathcal{O}(\epsilon)$ 이하로 유계화되어 에너지 공간 내 수렴 속도가 확인된다.
• 분석을 통해 불확실성 하에서 운동론적 시스템의 거시적 근사로 Navier-Stokes-Poisson 시스템의 타당성이 엄밀히 입증되었으며, 엄밀한 오차 제어가 이루어졌다.