[논문 리뷰] Sensitivity analysis of hybrid systems with state jumps with application to trajectory tracking

Alessandro Saccon, Nathan van de Wouw외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 11.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상태 점프를 수반하는 하이브리드 시스템을 위한 새로운 1차 민감도 분석 프레임워크를 개발하며, 점프 시간이 일치하지 않을 경우에도 변형된 궤적을 근사하기 위해 새로운 오차 개념을 도입한다. 선형 제곱조절기(LQR) 제어를 상태 재설정을 고려한 점프 이득과 리카티 방정식을 통합하여 일반화함으로써, 불연속적인 동역학을 가진 하이브리드 시스템에서 시간에 따라 변하는 기준 궤적의 국소적 안정화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper addresses the sensitivity analysis for hybrid systems with discontinuous (jumping) state trajectories. We consider state-triggered jumps in the state evolution, potentially accompanied by mode switching in the control vector field as well. For a given trajectory with state jumps, we show how to construct an approximation of a nearby perturbed trajectory corresponding to a small variation of the initial condition and input. A major complication in the construction of such an approximation is that, in general, the jump times corresponding to a nearby perturbed trajectory are not equal to those of the nominal one. The main contribution of this work is the development of a notion of error to clarify in which sense the approximate trajectory is, at each instant of time, a firstorder approximation of the perturbed trajectory. This notion of error naturally finds application in the (local) tracking problem of a time-varying reference trajectory of a hybrid system. To illustrate the possible use of this new error definition in the context of trajectory tracking, we outline how the standard linear trajectory tracking control for nonlinear systems -based on linear quadratic regulator (LQR) theory to compute the optimal feedback gain- could be generalized for hybrid systems.

연구 동기 및 목표

• 노멀 및 변형된 궤적의 점프 시간이 일치하지 않을 때 발생하는 민감도 분석 문제를 해결하기 위해.
• 불연속적인 상태 진동과 모드 전환을 수반하는 상황에서 변형된 궤적의 엄밀한 1차 근사화를 위해.
• 점프 시간이 다를 경우에도 각 순간에서 노멀 및 변형된 궤적 간 국소적 비교를 가능하게 하는 새로운 오차 척도를 정의하기 위해.
• 점프 역학과 시간에 따라 변하는 피드백 이득을 통합함으로써 하이브리드 시스템에서 궤적 추적을 위한 선형 제곱조절기(LQR) 제어를 일반화하기 위해.
• 특히 기준과 시스템의 점프 시간이 일치하지 않을 경우에도, 상태 유도 점프를 수반하는 하이브리드 시스템에서 시간에 따라 변하는 기준 궤적의 국소적 안정화를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 작은 변화에 대한 상태 점프를 정량화하기 위해 은둔함수정리(implicit function theorem)를 사용하여 식 (31)에 정의된 점프 이득 행렬 $ H $ 를 유도한다.
• 노멀 및 변형된 궤적 간의 1차 이탈을 측정하는 새로운 오차 개념을 도입하며, 이는 시간 이동된 점프 순간을 고려한다.
• 조각별 선형 동역학과 점프 조건을 포함한 리카티 방정식을 사용하여, 상태 점프를 수반하는 하이브리드 시스템에 대한 이중 단계 선형 제곱조절기(LQR) 설정을 제안한다.
• 점프 이전 및 이후의 두 구간에서 시스템 동역학을 모델링하며, 상태 전이가 $ z^+ = z^- + Hz^- $ 를 따르며, 유한 시간 영역에서 최적 제어 문제를 해결한다.
• 피드백 이득 $ K(t) = R^{-1}B^T P(t) $ 를 유도하며, 여기서 $ P(t) $ 는 점프 시간에서 리셋 조건 $ P^-(\tau) = (I+H)^T P^+(\tau)(I+H) $ 를 만족하는 리카티 미분방정식을 만족한다.
• 점프 시간이 다를 경우에도, 시간에 따라 변하는 기준 궤적 주위에서 시스템을 안정화하는 스위칭 피드백 법칙을 계산함으로써 제어 해법을 궤적 추적에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노멀 및 변형된 궤적의 점프 시간이 일치하지 않을 경우, 상태 점프를 수반하는 하이브리드 시스템에서 변형된 궤적의 1차 근사를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 불연속적인 동역학을 가진 하이브리드 시스템에서 노멀 및 변형된 궤적 간의 국소적 비교를 가능하게 하는 수학적으로 엄밀하고 의미 있는 오차 정의는 무엇인가?
• RQ3 표준 LQR 기반 궤적 추적 제어는 상태 유도 점프와 비동기 점프 이벤트를 수반하는 하이브리드 시스템으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ4 하이브리드 시스템에서 불연속성 근처로 민감도를 전파하는 데 있어 점프 이득 행렬 $ H $ 의 역할은 무엇인가?
• RQ5 리셋 조건 $ P^-(\tau) = (I+H)^T P^+(\tau)(I+H) $ 는 하이브리드 LQR 프레임워크에서 최적 피드백 이득에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 점프 시간이 다를 경우에도 상태 점프를 수반하는 하이브리드 시스템에서 노멀 및 변형된 궤적 간의 1차 이탈을 정량화하는 새로운 오차 개념을 수립한다.
• 은둔함수정리로 유도된 점프 이득 $ H $ 는 불연속적인 상태 전이를 통해 민감도를 정확히 전파하는 데 기여한다.
• 두 구간으로 나누어진 LQR 설정이 제안되며, 점프 시간에 리셋 조건이 포함된 리카티 방정식을 통해 점프 전후의 가치 함수 연속성이 보장된다.
• 시간에 따라 변하는 리카티 방정식과 점프에 의해 유도된 리셋 조건을 갖는 피드백 이득 $ K(t) $ 가 계산되어, 시간에 따라 변하는 기준 궤적의 국소적 안정화가 가능해진다.
• 제안된 방법은 점프 역학을 통합함으로써 표준 LQR 제어를 하이브리드 시스템으로 일반화하며, 시스템과 기준 궤적의 점프 순간이 일치하지 않을 경우에도 효과적인 궤적 추적을 가능하게 한다.
• 이 방법은 궤적 반사 기법과 일관되며, 수치 최적 제어를 위한 2차 민감도 분석으로의 길을 열어 놓는다.