[논문 리뷰] Sensitivity versus block sensitivity of Boolean functions

Madars Virza|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 03.

Coding theory and cryptography참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$를 만족하는 새로운 부울 함수 가족을 구성한다. 이는 이전에 루빈스타인의 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$이었던 이차적 분리 bound를 향상시킨다. 이 구성은 특정 패턴의 1들을 가진 분리된 변수 섹션을 사용하여 블록 민감도를 극대화하면서 민감도를 낮춘다. 그리고 12개 이하의 변수를 가진 함수에 대해 포괄적인 SAT 기반 검색을 통해 이 bound가 날카로운지 확인한다.

ABSTRACT

Determining the maximal separation between sensitivity and block sensitivity of Boolean functions is of interest for computational complexity theory. We construct a sequence of Boolean functions with bs(f) = 1/2 s(f)^2 + 1/2 s(f). The best known separation previously was bs(f) = 1/2 s(f)^2 due to Rubinstein. We also report results of computer search for functions with at most 12 variables.

연구 동기 및 목표

• 계산 복잡도 이론의 핵심 미해결 문제인 부울 함수에서 민감도와 블록 민감도 사이의 격차를 좁히기 위해.
• 루빈스타인의 이차적 분리 bound $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$를 향상시키기 위해.
• 소수의 변수를 가진 함수를 포괄적인 검색을 통해 탐색하여 이차적 분리가 최적인지 여부를 규명하기 위해.
• 이전에 알려진 것보다 민감도 대비 더 높은 블록 민감도를 달성하는 함수 가족을 구성하기 위해.

제안 방법

• 변수 수 $n = (2k+1)^2$인 함수를 구성하고, 이는 $2k+1$개의 섹션으로 나뉘며 각 섹션은 $2k+1$개의 변수를 포함한다.
• 함수가 1을 출력하는 조건은 적어도 하나의 섹션이 '좋은' 섹션이어야 하며, '좋은' 섹션은 연속된 두 개의 1이 있거나 마지막 위치에 단일 1이 있는 경우로 정의된다.
• 함수 값이 변할 수 있는 비트 플립 수가 각 섹션당 최대 한 개임을 보여줌으로써 민감도 $s(f) = 2k+1$임을 증명한다.
• 블록 크기와 총 변수 수에 대한 제약 조건을 이용하여 블록 민감도 $bs(f) = (2k+1)(k+1)$임을 증명한다.
• 비트 플립 수를 세는 동적 프로그래밍을 사용하여 블록 민감도 및 민감도 제약 조건을 SAT 인스턴스로 변환한다.
• 모든 부울 함수에 대해 12개 이하의 변수를 가진 경우에 대해 SAT 솔버를 사용하여 포괄적인 검색을 수행함으로써 이 bound가 맞는지 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 크기가 어떤 경우이든 부울 함수의 블록 민감도가 $\frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$를 초과할 수 있는가?
• RQ2 민감도와 블록 민감도 사이의 이차적 분리는 최적인지, 아니면 더 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 민감도가 고정된 상태에서 최대 12개의 변수를 가진 부울 함수에서 달성 가능한 최대 블록 민감도는 무엇인가?
• RQ4 새로운 구성이 민감도와 블록 민감도 사이의 가장 날카로운 분리를 달성하는가?
• RQ5 SAT 기반의 열거가 $n \leq 12$인 어떤 함수도 $bs(f) \leq \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$의 bound를 위반하지 않는다는 것을 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 구성된 함수는 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$를 달성하며, 루빈스타인의 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$보다 향상된 결과를 얻는다.
• 모든 부울 함수 중에서 최대 12개의 변수를 가진 경우, 블록 민감도는 $\frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$를 초과하지 않으며, 이는 이 bound가 날카로울 수 있음을 시사한다.
• 구성된 가족에 대해 민감도 $s(f)$는 정확히 $2k+1$이며, 블록 민감도 $bs(f)$는 정확히 $(2k+1)(k+1)$이다.
• 포괄적인 SAT 기반 검색을 통해 $n \leq 12$인 어떤 함수도 주어진 $s(f)$에 대해 제안된 bound를 초과하는 더 높은 $bs(f)$를 달성하지 못한다는 것이 확인되었다.
• 결과적으로 이차적 분리는 거의 최적일 것이라는 추측을 지지하며, 특히 블록 크기 제약 조건 하에서 그러하다.
• 분석 결과, 총 변수 수와 민감도 제약 조건으로 인해 블록 민감도는 $(2k+1)(k+1)$를 초과할 수 없다.