[논문 리뷰] Separable rational connectedness and weak approximation in positive characteristic

Jason Starr, Zhiyu Tian|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 Picard 수가 1인 매끄럽고 사영인 다양체에 대해 분리 가능한 유리 연결성의 코homological 기준을 확립한다: 다양체가 분리 가능한 유리 연결성을 갖는 것은 정확히 그 Hodge 코hom로지 군 $ H^0(X, \Omega^i_X) $ 가 모든 $ i = 1, \dots, \dim X $ 에서 0이 되는 것과 동치이다. 이 결과는 유리 완전교차의 약한 근사성에 대한 증명에 응용된다. 특성과 차수 조건이 유리할 경우에 성립한다.

ABSTRACT

In this short note we give a characterization of smooth projective varieties of Picard number one that are separably uniruled but not separably rationally connected. We also give a sufficient condition involving the torsion order and the uniruling index for a smooth Fano variety of Picard number one to be separably rationally connected. As an application, we prove some weak approximation results for Fano complete intersections in positive charactersitic. For example, we show that weak approximation holds at place of strong potentially good reduction for a Fano complete intersection in $\mathbb{P}^n$ of type $(d_1, \ldots, d_c)$ in characteristic $p$ such that $n>d_1+\ldots +d_c, p>d_1, \ldots, d_c.$

연구 동기 및 목표

• Picard 수가 1이지만 분리 가능한 유리 연결성은 갖지 않는 매끄럽고 사영인 다양체를 분리 가능한 유리 루핑하는가를 특성화하는 것.
• 분리 가능한 유리 연결성에 대한 충분조건을 분리 가능한 유리 연결성의 토퍼션 순서와 uniruling 지수를 사용하여 Picard 수가 1인 Fano 다양체에 대해 수립하는 것.
• 차수와 특성 조건 하에서 양의 특성에서 Fano 완전교차의 약한 근사성 결과를 증명하는 것.
• 이전의 [Tia15]와 [STZ18]의 결과를 일반화하고 개선하는 것.

제안 방법

• r-uniruling의 개념을 사용하고, 일반적으로 유한한 r-겹의 피보터 제품 사상의 차수의 GCD로 r-uniruling 지수를 정의한다.
• 피보터 제품 위에서 분리 가능한 유리 루핑과 분리 가능한 유리 연결성의 개념을 분리 가능한 평가 사상으로 적용한다.
• 분리 가능한 유리 연결성의 핵심 코homological 기준으로서 $ H^0(X, \Omega^i_X) $ 가 $ i = 1, \dots, \dim X $ 에서 0이 되는 것을 사용한다.
• 자유 유리 곡선과 그들의 코탄젠트 배럴로의 역상에 기반하여 $ \mathcal{D} \subset \Omega_X $ 를 정의한다.
• 반사층 $ (\Lambda^{n-r}\mathcal{D})^{**} $ 와 그의 Picard 수 1과 차수 0 조건에 의한 자명성으로부터 $ \Omega^{n-r}_X $ 의 전역 섹션을 구성한다.
• DVR 위의 가족에서 중심 근의 분리 가능한 유리 연결성을 유도하기 위해 [CL16]의 결과를 토론 순서와 uniruling 지수에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능한 유리 루핑이지만 분리 가능한 유리 연결성이 아닌 Picard 수가 1인 매끄럽고 사영인 다양체는 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ2 양의 특성에서 분리 가능한 유리 연결성을 보장하는 정확한 코homological 기준은 무엇인가?
• RQ3 어떻게 토퍼션 순서와 uniruling 지수가 Picard 수가 1인 Fano 다양체에서 분리 가능한 유리 연결성을 결정하는가?
• RQ4 차수와 특성의 제약 조건 하에서 양의 특성에서 Fano 완전교차에 대해 약한 근사성이 성립하는가?
• RQ5 약한 근사성 정리에서 (강한) 잠재적 양호한 근사 조건을 새로운 중심 근 기준을 사용하여 완화할 수 있는가?

주요 결과

• 알gebraically closed field에서 양의 특성을 갖는 Picard 수가 1인 매끄럽고 사영인 다양체 $ X $ 는 정확히 모든 $ i = 1, \dots, \dim X $ 에 대해 $ H^0(X, \Omega^i_X) = 0 $ 이면 분리 가능한 유리 연결성을 갖는다.
• 형식 $ (d_1, \dots, d_c) $ 의 $ \mathbb{P}^n $ 안의 Fano 완전교차 $ X \subset \mathbb{P}^n $ 에 대해 $ n > \sum d_i $ 이고 $ p > \max(d_1, \dots, d_c) $ 를 만족할 경우, 잔여 특성이 $ p $ 인 DVR 위의 중심 근은 분리 가능한 유리 연결성을 갖는다.
• 그러한 완전교차의 uniruling 지수는 $ \prod_{i=1}^c (d_i!) $ 에 의해 나누어지며, 토퍼션 순서 역시 이 곱의 약수이다.
• Fano 지수가 $ \geq 2 $ 인 $ \mathbb{P}^n $ 의 완전교차에 대한 매끄러운 가족에서 (강한) 잠재적 양호한 근사 조건이 성립하는 모든 자리에서 약한 근사성이 성립한다. 이는 $ p > \max(d_1, \dots, d_c) $ 를 만족할 때 성립한다.
• 약한 근사성의 증명은 중심 근이 분리 가능한 유리 연결성을 갖는다는 것에 기반하며, 이는 Corollary 9 로부터 유도된다. 따라서 [STZ18, Theorem 1.1] 보다 감소된 근사 조건을 사용하여 개선된 결과를 이룬다.
• 균일 공간에서의 완전교차에 대해, Fano 지수와 자유 유리 곡선과의 교차 수의 팩토리얼 곱을 사용하여 분리 가능한 유리 연결성에 대한 명시적 기준을 제시한다. 이는 특성 조건 하에서 성립한다.