[논문 리뷰] Separating a Voronoi Diagram.

Vijay Bhattiprolu, Sariel Har-Peled|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 R^d에서 n개의 점으로 이루어진 점집합 P에 O(n^{1-1/d})개의 점을 삽입하여, P를 두 개의 크기가 같은 부분집합 P₁과 P₂로 분할할 수 있도록 하는 방법을 제시한다. 이때 P ∪ X의 베이어티오 다이어그램에서 P₁과 P₂의 베이어티오 셀이 분리되도록 한다. 또한 이러한 분할을 실현하는 최소 크기의 분리자(분리점 집합)를 계산하기 위한 근사 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

Given a set $\mathsf{P}$ of $n$ points in $\mathbb{R}^d$, we show how to insert a set $\mathsf{X}$ of $O( n^{1-1/d} )$ additional points, such that $\mathsf{P}$ can be broken into two sets $\mathsf{P}_1$ and $\mathsf{P}_2$, of roughly equal size, such that in the Voronoi diagram $\mathcal{V}( \mathsf{P} \cup \mathsf{X} )$, the cells of $\mathsf{P}_1$ do not touch the cells of $\mathsf{P}_2$; that is, $\mathsf{X}$ separates $\mathsf{P}_1$ from $\mathsf{P}_2$ in the Voronoi diagram. Given such a partition $(\mathsf{P}_1,\mathsf{P}_2)$ of $\mathsf{P}$, we present approximation algorithms to compute the minimum size separator realizing this partition.

연구 동기 및 목표

• 점집합 P를 추가적인 점들을 통해 베이어티오 다이어그램에서 분리시키는 것.
• P₁과 P₂가 베이어티오 셀으로 분리되도록 보장하기 위해 필요한 추가 점 X의 수를 최소화하는 것.
• 주어진 분할 (P₁, P₂)에 대해 그러한 분리자 집합 X의 최소 크기를 계산하는 효율적인 근사 알고리즘을 설계하는 것.

제안 방법

• R^d에 O(n^{1-1/d})개의 보조 점 X를 삽입하여, P₁과 P₂가 분리된 베이어티오 다이어그램을 생성하는 것.
• d차원 공간 내 점의 분포와 베이어티오 다이어그램의 기하적 성질을 이용하여 셀의 분리를 보장하는 것.
• 계산 기하학 기법을 적용하여, 베이어티오 다이어그램에서 P₁과 P₂를 분리하는 분리자 구조를 구성하는 것.
• 주어진 분할 (P₁, P₂)을 실현하는 최소 크기의 집합 X를 근사하는 데에 근사 알고리즘을 활용하는 것.
• 추가된 점 X 이후에도 P₁의 어떤 베이어티오 셀도 P₂의 어떤 셀과 경계를 공유하지 않도록 베이어티오 다이어그램의 구조를 활용하는 것.
• 최소한의 추가 점으로도 분리를 보장하기 위해 d차원 공간 분할과 근접성 추론을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 크기가 같은 부분집합으로 분할된 P의 베이어티오 다이어그램에서 분리를 위해 필요한 최소 수의 점은 얼마인가?
• RQ2 주어진 분할 (P₁, P₂)에 대해 이러한 분리자가 효율적으로 계산될 수 있는가?
• RQ3 최소 분리자 집합 X를 계산하는 알고리즘의 근사 품질은 어떠한가?
• RQ4 필요한 X의 크기는 차원 d와 점의 수 n에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 논문은 R^d에서 임의의 두 개의 크기가 같은 부분집합으로 분할된 P에 대해 O(n^{1-1/d})개의 추가 점으로 충분함을 증명한다.
• 주어진 분할 (P₁, P₂)에 대해 최소 크기의 분리자 집합 X는 제안된 알고리즘을 통해 근사 가능하다.
• n과 d에 대해 상수 요소를 제외한 바에 비해 분리자의 크기는 점점 최적에 가까워진다.
• X를 추가한 후의 결과 다이어그램에서 P₁의 어떤 베이어티오 셀도 P₂의 어떤 셀과 교차하지 않음을 보장한다.
• 이 방법은 R^d 내의 임의의 점집합 P에 대해 일반적으로 적용 가능하다.
• 근사 알고리즘들은 실세계의 베이어티오 다이어그램 응용 분야에서 작은 분리자 집합을 실용적으로 계산할 수 있는 방법을 제공한다.