[논문 리뷰] Separating Models by Formulas and the Number of Countable Models

Mohammad Assem|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 23.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $L_{\omega_1\omega}$의 가산 조각에서 유도된 공식을 사용하여 모형 이론에서 수능 모형의 분리성 문제를 조사하며, 일阶 논리 이론이 상호 분리 가능한 수능 모형의 비가산 가중치를 가진다면, 그 이론은 반드시 $2^{\aleph_0}$개의 서로 동형이 아닌 수능 모형을 가져야 한다고 규명한다. 핵심 기여는 가산 조각의 공식을 통해 모형의 구별 가능성을 Borel 동치 관계와 가산 조각의 기하학적 구조를 통한 기수 비교를 통해 위상수학적이고 논리적으로 특성화한 데 있다.

ABSTRACT

We indicate a way of distinguishing between structures, for which, two structures are said to be separable.Being separable implies being non-isomorphic. We show that for any first order theory $T$ in a countable language, if it has an uncountable set of countable models that are pairwise separable, then actually it has such a set of size $2^{\aleph_0}$. Our result follows trivially assuming the Continuum Hypothesis ($CH$). We work here in $ZFC$ (only without $CH$).

연구 동기 및 목표

• 가산 $L_{\omega_1\omega}$ 조각의 공식을 사용하여 모형 분리성의 개념을 형식화하기.
• 가산 관계 언어 $L$에 대한 수능 무한 $L$-모형들의 공간 $X_L$가 그러한 조각에 의해 유도된 폴란드 위상에서 어떻게 위상적 구조를 가지는지 분석하기.
• 두 구조가 정의 가능한 집합의 기수 차이를 통해 서로 동형이 아님을 특성화하기.
• 조각 $F$에서의 불가분성 동치 관계 $E_F$가 곱 위상에서 Borel 측정 가능함을 증명하기.
• 서로 분리 가능한 수능 모형의 비가산 가족이 존재할 경우, $2^{\aleph_0}$개의 서로 동형이 아닌 수능 모형이 존재함을 증명하기.

제안 방법

• 모든 수능 무한 $L$-모형들의 공간으로서 $X_L = \prod_{i \in I} 2^{(\mathbb{N}^{n_i})}$ 정의하기.
• 부분공식, 부정, 양화자, 유한 합성 및 논리합에 대해 닫혀 있는 $L_{\omega_1\omega}$의 조각 $F$ 도입하기.
• 주어진 자연수 튜플 $\bar{s}$에 대해 공식 $\varphi$를 만족하는 $X_L$ 내의 구조 집합으로서 $Mod(\varphi, \bar{s})$ 정의하기.
• 기본 열린집합 $Mod(\varphi, \bar{s})$로 생성되는 위상 $t_F$를 $X_L$에 부여하며, 이 위상이 폴란드 위상임을 보여주기.
• 유한 및 무한 튜플 집합의 기수 비교를 위한 $\mu_\varphi: \mathbb{N} \to {}^{|\Delta\varphi|}\omega$의 전단사 함수 구축하기.
• 이 전단사 함수를 사용하여 정의 가능한 집합의 기수 동치를 단사 함수와 역상 조건으로 표현함으로써 $E_F$의 Borel 특성화 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 $L_{\omega_1\omega}$ 조각의 공식을 사용하여 두 수능 모형을 어떤 조건에서 분별할 수 있는가?
• RQ2 조각 $F$에서의 불가분성 동치 관계 $E_F$는 폴란드 위상 $t_F$에서 Borel 측정 가능한가?
• RQ3 서로 분리 가능한 모형의 비가산 가족 존재와 총 수의 서로 동형이 아닌 수능 모형 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 모형 내 정의 가능한 집합의 기수는 논리적 공식을 통해 동형 타입을 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 위상적 구조 $X_L$와 위상 $t_F$는 등장하는 등장성, 동형성, 분리성과 같은 모형 이론적 성질을 어떻게 반영하는가?

주요 결과

• 가산 조각 $F$의 $L_{\omega_1\omega}$에서의 불가분성 동치 관계 $E_F$는 곱 위상 $(X_L, t_F) \times (X_L, t_F)$에서 Borel 측정 가능하다.
• 두 구조가 조각 $F$에서 분리 가능하다는 것은, 그들의 $\varphi$-정의 가능한 집합의 기수가 다름을 만족하는 공식 $\varphi \in F$가 존재함을 의미한다.
• 문장이 아닌 모든 공식 $\varphi$에 대해, 선택된 전단사 함수 $\mu_\varphi$를 사용하여 $\mathbb{N}$ 위의 단사 함수를 통해 정의 가능한 집합의 기수를 특성화할 수 있다.
• $|X| = |Y| \in \omega$ 조건은 단사 함수 $f, g$가 존재하여 $f^*(g^{-1}(Y)) = X$ 및 $g^*(f^{-1}(X)) = Y$ 를 만족함을 의미하며, 이는 Borel 방식으로 표현 가능하다.
• 일阶 논리 이론 $T$가 $L_{\omega_1\omega}$의 어떤 가산 조각에서도 서로 분리 가능한 수능 모형의 비가산 가족을 가진다면, 그 이론은 $2^{\aleph_0}$개의 서로 동형이 아닌 수능 모형을 가져야 한다.
• 모형 집합이 $X_L$에서 $G_{\delta}$이어도 결과가 성립함을 보여, 기수 결론이 위상적 제약 조건 하에서도 강건함을 입증한다.