[논문 리뷰] Separating regular languages with two quantifier alternations

Thomas Place|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 11.

semigroups and automata theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 기저를 가진 임의의 연결 계층의 수준 $\frac{3}{2}$ 에서의 분리 문제의 결정 가능성을 확립하며, 특히 도트 깊이 계층의 경우 수준 $\frac{5}{2}$ 에서도 이를 해결한다. 이는 다중 rating 사상과 최적의 점이 있는 인장에 기반한 새로운 프레임워크를 개발하여 단어 위의 $\Sigma_3$ 첫 번째 순서 논리에 대한 해법을 도출함으로써 달성된다.

ABSTRACT

We investigate a famous decision problem in automata theory: separation. Given a class of language C, the separation problem for C takes as input two regular languages and asks whether there exists a third one which belongs to C, includes the first one and is disjoint from the second. Typically, obtaining an algorithm for separation yields a deep understanding of the investigated class C. This explains why a lot of effort has been devoted to finding algorithms for the most prominent classes. Here, we are interested in classes within concatenation hierarchies. Such hierarchies are built using a generic construction process: one starts from an initial class called the basis and builds new levels by applying generic operations. The most famous one, the dot-depth hierarchy of Brzozowski and Cohen, classifies the languages definable in first-order logic. Moreover, it was shown by Thomas that it corresponds to the quantifier alternation hierarchy of first-order logic: each level in the dot-depth corresponds to the languages that can be defined with a prescribed number of quantifier blocks. Finding separation algorithms for all levels in this hierarchy is among the most famous open problems in automata theory. Our main theorem is generic: we show that separation is decidable for the level 3/2 of any concatenation hierarchy whose basis is finite. Furthermore, in the special case of the dot-depth, we push this result to the level 5/2. In logical terms, this solves separation for $Σ_3$: first-order sentences having at most three quantifier blocks starting with an existential one.

연구 동기 및 목표

• 유한 기저를 가진 연결 계층의 수준 $\frac{3}{2}$ 와 $\frac{5}{2}$ 에서의 분리 문제에 대한 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 단어 위의 첫 번째 순서 논리의 양자화 순서 교호 계층에서 멤버십 결과를 분리로 확장하기 위해.
• 다항식 및 부울 닫힘을 다루기 위한 다중 rating 사상과 최적의 점이 있는 인장을 기반으로 하는 일반적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 연결 계층에서의 분리와 $\Sigma_3$ 첫 번째 순서 논리에서의 논리적 정의 가능성 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 전이 및 축소 기법을 통해 계층의 고차 수준에서의 커버링 및 멤버십 문제를 해결하기 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 연결 계층 내 언어 클래스 분석을 위한 구조적 도구로 다중 rating 사상을 도입한다.
• rating 사상을 사용하여 $\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$ 와 $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$ 클래스에 대한 최적의 점이 있는 인장을 정의하고 특성화한다.
• $PBPol(\mathcal{C})$-포화된 집합과 내림집합에 대한 닫힘을 이용하여 분리 구성의 정확성을 확보한다.
• 요소의 성질을 인장 숲의 구조적 성질로 변환하기 위해 몰피즘 $\tau$ 를 적용하여 아이디포텐트에 대한 대수적 조건을 유도한다.
• 높이가 제한된 $\eta$-인장 숲과 아이디포텐트 높이를 이용하여 언어 구성의 복잡도를 제어한다.
• [PZ15a]의 전이 결과와 [PZ14]의 축소 정리들을 활용하여 분리 결과를 $\Sigma_4$ 멤버십으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 기저를 가진 임의의 연결 계층의 수준 $\frac{3}{2}$ 에서 분리 문제의 결정 가능성이 있는가?
• RQ2 도트 깊이 계층에서 수준 $\frac{5}{2}$ 에서 분리 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ3 다중 rating 사상과 최적의 점이 있는 인장을 기반으로 한 프레임워크는 $\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$ 와 $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$ 에서의 분리 문제에 대해 일반적인 해법을 제공하는가?
• RQ4 분리 문제의 결과를 양자화 순서 교호 계층의 고차 수준으로 옮길 수 있는가?
• RQ5 좋은 다중 rating 사상 외부의 $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$-최적의 점이 있는 인장의 특성화를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 기저를 가진 임의의 연결 계층의 수준 $\frac{3}{2}$ 에서 분리는 결정 가능하다.
• 특히 도트 깊이 계층에서 수준 $\frac{5}{2}$ 에서의 분리는 결정 가능하며, 이는 단어 위의 $\Sigma_3$ 첫 번째 순서 논리에 해당한다.
• 모든 다중 rating 사상에 대해 유효한 $\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$-최적의 점이 있는 인장의 특성화에 기반하여 해법이 도출된다.
• 좋은 다중 rating 사상으로 제한함으로써 프레임워크는 $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$ 로 확장되며, 이를 통해 분리 가능한 언어의 구성이 가능해진다.
• 기존의 축소 기법을 통해 $\Sigma_4(<)$ 와 $\Sigma_4(<,+1,min,max,\varepsilon)$ 의 멤버십 문제의 결정 가능성을 암시한다.
• 단순한 결정 가능성 이상의 더 강력한 기초를 제공하며, 최적의 인장을 특성화하는 방식으로 향후 확장에 유리한 조건을 마련한다.