[논문 리뷰] Sequential games and nondeterministic selection functions

Joe Bolt, Jules Hedges외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 16.

Game Theory and Applications참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한한 공집합이 아닌 멱집합 모나드를 사용하여 순차 게임을 모델링하기 위해 비결정적 선택 함수를 조사하며, 하위게임 완전 균형이 아닌 엄격하게 지배되는 전략의 반복적 제거를 특징으로 한다. 직관적인 기대와는 달리, 어떤 비결정적 선택 함수도 모든 하위게임 완전 내쉬 균형 플레이를 계산하지 못하지만, 지배 기반의 더 약한 이성 개념을 포착한다.

ABSTRACT

This paper analyses Escardó and Oliva's generalisation of selection functions over a strong monad from a game-theoretic perspective. We focus on the case of the nondeterminism (finite nonempty powerset) monad $\mathcal{P}$. We use these nondeterministic selection functions of type $\mathcal{J}^{\mathcal{P}}_R X = (X ightarrow R) ightarrow \mathcal{P} (X)$ to study sequential games, extending previous work linking (deterministic) selection functions to game theory. Similar to deterministic selection functions, which compute a subgame perfect Nash equilibrium play of a game, we characterise those non-deterministic selection functions which have a clear game-theoretic interpretation. We show, surprisingly, no non-deterministic selection function exists which computes the set of all subgame perfect Nash equilibrium plays. Instead we show that there are selection functions corresponding to sequential versions of the iterated removal of strictly dominated strategies.

연구 동기 및 목표

• 유한한 공집합이 아닌 멱집합 모나드를 사용하여 순차 게임에서 비결정적 선택 함수의 게임이론적 해석을 분석한다.
• 비결정적 선택 함수가 모든 하위게임 완전 내쉬 균형 플레이를 계산할 수 있는지 여부를 규명한다.
• 비결정적 선택 함수의 곱에 의해 정확히 포착되는 게임이론적 해법 개념을 특정한다.
• 순차 게임에서 일관되고 의미 있는 전략적 플레이를 유도하는 선택 함수의 집합을 특징짓는다.
• 선택 함수의 표현력과 전방후행법 및 반복 지배와 같은 고전적 해법 개념을 비교한다.

제안 방법

• 유한한 공집합이 아닌 멱집합 모나드 $\mathcal{P}_{\mathrm{f}}$ 위의 선택 모나드를 사용하여 순차 게임에서의 비결정적 선택을 모델링한다.
• 주어진 수익 구조 하에서 엄격하게 지배되지 않는 행동의 집합을 반환하는 선택 함수 $\varepsilon_i: (X_i \to R) \to \mathcal{P}_{\mathrm{f}}(X_i)$ 를 정의한다.
• 수익 집합이 다른 어떤 행동의 수익 집합에 의해 엄격하게 지배되지 않는 행동을 반환하는 엄격 지배 선택 함수 $\varepsilon_i^s$ 를 도입한다.
• 플레이어 간의 선택 함수를 결합하기 위해 곱 연산자 $\bigotimes$ 를 적용하여 전방후행법을 비결정적 환경으로 일반화한다.
• 일관성과 이성성을 분석하기 위해 상향 폐쇄 및 증거 성질 개념을 활용한다.
• 게임이론적 구성 방법을 사용하여 $\bigotimes_{i=1}^n \varepsilon_i$ 의 출력이 엄격하게 지배되는 전략의 반복적 제거를 통해 확보할 수 있는 플레이 집합과 관련지운다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비결정적 선택 함수는 순차 게임에서 모든 하위게임 완전 내쉬 균형 플레이를 계산할 수 있는가?
• RQ2 비결정적 선택 함수의 곱이 $\mathcal{P}_{\mathrm{f}}$ 모나드 상에서 포착하는 게임이론적 해법 개념은 무엇인가?
• RQ3 순차 게임에서 엄격하게 지배되는 전략의 반복적 제거에 대응하는 선택 함수가 존재하는가?
• RQ4 무엇 조건에서 증거 성질을 가지며 상향 폐쇄인 선택 함수의 곱 자체도 증거 성질을 가지는가?
• RQ5 수익 공간의 구조와 반순서 구조가 선택 함수 곱의 결과에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 초기 기대와는 달리, 모든 하위게임 완전 내쉬 균형 플레이의 집합을 계산하는 비결정적 선택 함수는 존재하지 않는다.
• $\mathcal{P}_{\mathrm{f}}$ 모나드 상에서 선택 함수의 곱은 엄격하게 지배되는 전략의 반복적 제거를 통해 확보할 수 있는 플레이 집합을 특징으로 한다.
• 엄격 지배 선택 함수 $\varepsilon_i^s$ 는 증거 성질과 상향 폐쇄 성질을 모두 만족하므로 타당한 게임이론적 해법 개념을 제공한다.
• 선택 함수의 곱 $\bigotimes_{i=1}^n \varepsilon_i^s$ 는 전략이 엄격하게 지배되는 전략의 반복적 제거를 통해 확보되는 게임에서 $\Sigma(\mathcal{G})$-플레이의 정확한 집합을 계산한다.
• 두 증거 성질을 가진 선택 함수의 곱은 반드시 증거 성질을 가지지 않으며, $X = \{0,1\}$ 과 $R = \mathcal{P}_{\mathrm{f}}(\mathbb{R}^2)$ 를 사용한 반례로 이를 보여준다.
• 각 $X_i$ 가 유한할 경우, 선택 함수의 곱 $\bigotimes_{i=1}^n \varepsilon_i^s$ 는 순차 게임에서 엄격하게 지배되는 전략의 반복적 제거와 동일한 플레이 집합을 계산한다.