[논문 리뷰] Sequential Lower Semi-Continuity of Non-Local Functionals

Peter Elbau|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 14.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 7인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 르베그 공간에서 비국소 함수류의 순차적 하방 연속성에 대한 필수적이고 충분한 조건을 확립한다. 함수류 $\mathcal{J}(u) = \int_X\int_X f(x,y,u(x),u(y))\,dx\,dy$가 약한 순차적 하방 연속성을 갖는 것은, 거의 모든 $x$와 모든 $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$에 대해 맵 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$가 볼록임과 동치임을 보여준다. 스칼라 경우 ($n=1$)에서는 이 조건이 거의 확실히 $f(x,y,w,z)$의 분리 볼록성과 동치이다.

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for non-local functionals on vector-valued Lebesgue spaces to be weakly sequentially lower semi-continuous. Here a non-local functional shall have the form of a double integral of a density which depends on the function values at two different points. The characterisation we get is essentially that the density has to be convex in one variable if we integrate over the other one with an arbitrary test function in it. Moreover, we show that this condition is in the case of non-local functionals on real-valued Lebesgue spaces (up to some equivalence in the density) equivalent to the separate convexity of the density.

연구 동기 및 목표

• 비국소 함수류의 $L^p$ 공간에서의 약한 순차적 하방 연속성에 대한 특성화를 확립하는 것.
• 특히 영상 분석에서 비국소 함수류를 포함하는 변분 문제에서 최소화자의 존재를 다루는 것.
• 국소 함수류 이론에서 사용되는 것보다 더 약한 가정 하에 비국소 함수류의 적분 가능성 조건을 명확히 하는 것.
• 스칼라 경우 ($n=1$)에서 $\Phi_{x,\psi}$의 볼록성 조건이 거의 확실히 $f(x,y,w,z)$의 분리 볼록성과 동치임을 보이는 것.
• 함수류 표현의 모호함을 제거하기 위해, 동일한 함수류를 유도하는 등가 형태의 $f$를 식별하는 것.

제안 방법

• 르베그 공간 $L^p(X;\mathbb{R}^n)$에서 $p \in [1,\infty]$에 대해 비국소 함수류를 $\mathcal{J}(u) = \int_X\int_X f(x,y,u(x),u(y))\,dx\,dy$로 정의한다.
• 幾乎 모든 $x \in X$와 $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$에 대해 보조 맵 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$를 도입한다.
• 순차적 하방 연속성이 $L^p$ 공간의 약한 위상(또는 $L^\infty$의 약한-* 위상)에 대해 성립하는 것은, 거의 모든 $x$와 모든 $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$에 대해 $\Phi_{x,\psi}$가 볼록임과 동치임을 증명한다.
• 측정 가능한 선택 정리와 적분 부등식을 사용하여 하방 연속성에서 필수 조건을 유도한다.
• $n=1$인 경우, $\Phi_{x,\psi}$의 볼록성이 $X \times X$에 거의 확실히 $f(x,y,w,z)$의 분리 볼록성과 동치임을 보인다.
• 국소 함수류 이론에서 사용되는 표준 성장 한계보다 더 약한 조건으로 이중 적분의 적분 가능성 조건을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 위상에 대해 $L^p$ 공간에서 비국소 함수류의 순차적 하방 연속성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$의 볼록성은 함수류 $f$의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $n=1$인 경우, $\Phi_{x,\psi}$의 볼록성 조건은 $f(x,y,w,z)$의 분리 볼록성과 동치인가?
• RQ4 함수류 $f$는 동치성에 따라 수정될 수 있으며, 이는 함수류 $\mathcal{J}$에 영향을 주지 않지만, 특성화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 $\mathcal{J}(u)$가 모든 $u \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$에 대해 잘 정의되기 위해 필요한 $f$의 적분 가능성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $\mathcal{J}$는 $p \in (1,\infty)$에 대해 $L^p(X;\mathbb{R}^n)$ 공간에서 약한 위상에 대해 순차적으로 하방 연속적일 조건은, 거의 모든 $x \in X$와 모든 $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$에 대해 $\Phi_{x,\psi}(w)$가 볼록임과 동치이다.
• $p = \infty$인 경우, 동일한 $\Phi_{x,\psi}$의 볼록성 조건 하에 약한-* 위상에 대해 순차적 하방 연속성이 성립한다.
• 스칼라 경우 ($n=1$)에서 $\Phi_{x,\psi}$의 볼록성은 $X \times X$에 거의 확실히 $f(x,y,w,z)$의 분리 볼록성과 동치이며, 함수류의 등가성에 따라 변하지 않는다.
• $\mathcal{J}(u)$의 적분 가능성은 국소 함수류 이론에서 사용되는 표준 성장 한계보다 더 약한 조건 하에서도 보장될 수 있다.
• $f(x,y,w,z)$가 거의 확실히 $(w,z)$에 대해 하방 연속적이고 $f$에 하한이 있을 경우, 함수류 $\mathcal{J}$는 강한 위상에 대해 순차적으로 하방 연속적이다.
• 논문은 함수류의 모호함을 제거하여, $n=1$인 경우, $\mathcal{J}$를 동일하게 만드는 임의의 $f$는 $\tilde{f}(x,y,w,z)$로 대체될 수 있으며, 이때 $\tilde{f}$가 거의 확실히 분리 볼록일 조건은 $\Phi_{x,\psi}$가 모든 $\psi$에 대해 볼록일 때이다.