[논문 리뷰] Serendipity Face and Edge VEM Spaces

L. Beirão da Veiga, Franco Brezzi외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 23인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 2차원 및 3차원에서 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$-준수 문제를 위한 순수성 면과 모서리 가상 요소 방법(Virtual Element Method, VEM) 공간을 소개한다. 이는 절점 기반 순수성 VEMs를 혼합 유한요소 프레임워크로 일반화한 것이다. 내부 자유도를 경계 자유도 및 컬-준수 자유도로 줄임으로써, 최적의 수렴성을 유지하면서도 계산 비용을 크게 감소시키며, 특히 복잡한 기하학을 가진 다각형 메쉬에서 유리하다.

ABSTRACT

We extend the basic idea of Serendipity Virtual Elements from the previous case (by the same authors) of nodal ($H^1$-conforming) elements, to a more general framework. Then we apply the general strategy to the case of $H(div)$ and $H(curl)$ conforming Virtual Element Methods, in two and three dimensions.

연구 동기 및 목표

• 절점 기반 $H^1$-준수 요소에서 2차원 및 3차원에서 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$-준수 공간으로 순수성 VEMs를 확장하는 것.
• 순수성 유사 전략을 사용하여 내부 자유도 및 면 내 자유도를 제거함으로써 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$-준수 VEMs의 자유도 수를 줄이는 것.
• 혼합 형식에서 inf-sup 안정성을 확보하기 위해 $B$-준수성(Fortin 유형의 보간자)을 보장하는 것.
• 다항식 투영과 경계 자유도를 통합함으로써 이전의 VEM 공간을 일반화하여 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$ 준수를 모두 지원하는 것.

제안 방법

• 경계 자유도를 선택하여 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$ 준수성을 유지하는 순수성 유사 VEM 공간을 구성하는 일반적 프레임워크를 제안한다.
• 경계 자유도를 사용하여 국소 VEM 공간을 정의한다: 모서리/면에서의 탄성 및 법선 흐름, 면에서의 컬 관련 모멘트, $\mathscr{S}_k$ 식별을 위한 체적 모멘트.
• 필수 자유도만 유지함으로써 순수성 감소를 구현한다: (1) 모서리/면에서의 탄성 및 법선 흐름, (2) 면에서의 컬 관련 모멘트, (3) $\mathscr{S}_k$ 식별을 위한 차수 $k+1-\eta_E$의 체적 모멘트.
• 혼합 형식에서 안정성을 확보하기 위해 $B$-준수 보간자(Fortin 유형)를 사용한다.
• 다각형 요소에 대해 다항식 투영에 대해 불변이며 컬 및 발산 연산자와 호환되는 모서리 및 면에서의 자유도를 정의한다.
• 추가 자유도를 체계적으로 선택하는 절차를 도입하며, $\eta_E \leq k+1$일 경우 $\mathscr{S}_k$ 식별을 위해 차수 $k+1-\eta_E$의 체적 모멘트를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 절점 기반 $H^1$-준수 VEMs에서 순수성 유사 감소를 2차원 및 3차원에서 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$-준수 VEMs로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 내부 및 면 내 자유도를 제거하면서도 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$ 준수성을 유지하기 위해 필요한 최소 자유도 집합은 무엇인가?
• RQ3 $B$-준수 보간자를 구성하여 순수성 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$ VEMs의 혼합 형식에서 안정성을 확보할 수 있는가?
• RQ4 특히 $\eta_E \leq k+1$일 경우 요소 기하학에 따라 자유도 수가 어떻게 변화하는가?
• RQ5 비凸형 요소에서 차수 $k+1-\eta_E$의 체적 모멘트는 다항식 공간 $\mathscr{S}_k$ 식별에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 순수성 VEM 공간은 $H(\textrm{div})$ 및 $H(\textrm{curl})$ 준수 문제에서 표준 VEMs에 비해 자유도를 크게 줄였음에도 불구하고 최적의 수렴 속도를 달성한다.
• 적절한 자유도 선택을 통해 $B$-준수성(Fortin 유형 보간자)을 유지함으로써 혼합 형식에서의 안정성을 확보한다.
• 볼록형 요소의 경우 $\eta_E > k+1$일 때 자유도 (8.31)–(8.33) 및 (8.25)는 $\mathscr{S}_k$에 속하는 모든 다항식을 유일하게 식별하며, 추가 내부 자유도가 필요로 하지 않는다.
• $\eta_E \leq k+1$일 경우 커널 $\mathcal{Z}_k$의 차원은 $\pi_{k+1-\eta,3}$이며, $\mathscr{S}_k$ 식별을 위해 추가로 차수 $k+1-\eta_E$의 체적 모멘트가 필요하다.
• 내부 자유도 감소보다는 면에서의 순수성 모서리 VEMs를 사용할 경우 자유도 감소의 효과가 더욱 두드러진다.
• 경계 $\partial E$를 둘러싸는 평면 수에 기반한 체계적인 자유도 선택을 통해 다각형 메쉬, 특히 기울어지고 비凸형 요소에서도 안정성이 확보된다.