[논문 리뷰] Series representations of the remainders in the expansion for certain trigonometric and hyperbolic functions with applications

C.-P. Chen, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 13.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 삼각함수와 쌍곡함수의 테일러 전개에서의 나머지 항에 대한 명시적 급수 표현을 적분 및 무한급수 항등식을 사용하여 유도한다. 주요 기여는 베르누이 수와 오일러 수, 나머지 항의 渐近 분석을 통한 연결을 통해 이러한 함수들에 대해 최적의 상수를 갖는 날카운 불등식을 확립하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we present series representations of the remainders in the expansions for certain trigonometric and hyperbolic functions. By using the obtained results, we establish some inequalities for trigonometric and hyperbolic functions.

연구 동기 및 목표

• 탄젠트 함수 tan t, hyperbolic 탄젠트 함수 tanh t, 그리고 secant 함수 sec t의 테일러 전개에서의 나머지 항에 대한 명시적 급수 표현을 유도하는 것.
• 유도된 나머지 항 표현을 이용해 삼각함수와 쌍곡함수에 대한 날카운 불등식을 수립하는 것.
• 특히 sec t와 tan t에 대해 이러한 불등식의 최적 상수를 결정하는 것.
• 이전에 sech t와 coth t의 전개에서의 나머지 항에 대한 결과를 유사한 기법을 사용하여 새로운 함수로 확장하는 것.
• 나머지 항 분석을 통해 감마 함수 비율을 포함하는 불등식에 대한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 기존의 부분분수 전개로부터 유도된 무한급수 항등식: tan t = ∑_{k=1}^∞ 8t / (π²(2k−1)² − 4t²)를 활용한다.
• 기하급수 전개 1/(1−q) = ∑_{j=0}^{N−1} q^j + q^N/(1−q)를 적용하여 나머지 항을 다항식 및 잔여 성분으로 분해한다.
• 홀수 정수에 대한 합에 대한 알려진 항등식을 활용: ∑_{k=1}^∞ 1/(2k−1)^{2n} = (2^{2n}−1)π^{2n}|B_{2n}|/(2·(2n)!), 이를 베르누이 수와 연결한다.
• 삼각함수의 도함수 ψ′(z)의 반사 및 재귀 성질을 이용하여 ∑_{k=N+2}^∞ 1/(4k²−1)²에 대한 급수 항등식을 증명한다.
• 오일러 수 |E_{2n}|/(2n)!에 대한 추정: 4^{n+1}/π^{2n+1}(1+3^{-1-2n}) < |E_{2n}|/(2n)! < 4^{n+1}/π^{2n+1}을 사용하여 날카운 성질을 확립한다.
• 해석적 계속성과 급수 항의 부호 분석을 통해 tanh t와 sec t에 대한 나머지 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 tan t와 tanh t의 테일러 전개에서의 나머지 항에 대한 정확한 급수 표현은 무엇인가?
• RQ2 나머지 항을 어떻게 바ounds하여 sec t와 tan t에 대한 날카운 불등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 sec t 전개의 나머지 항을 포함하는 불등식에서 최적의 상수는 무엇인가?
• RQ4 유도된 나머지 표현은 베커-스타르 불등식과 같은 고전적 불등식을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 특수함수와 수열을 사용하여 나머지 항의 구조를 다른 삼각함수 및 쌍곡함수로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• tan t의 전개에서의 나머지 항은 |t| < π/2 범위에서 ϑ_N(t) = (2^{2N+3}t^{2N+1}/π^{2N}) × ∑_{k=1}^∞ 1/[(2k−1)^{2N}(π²(2k−1)²−4t²)]로 표현되며, 유효하다.
• tan t에 대해 0 < t < π/2 범위에서 다음 불등식이 성립한다: 1 + (32t²)/(π²(π²−4t²)) + (32t²(π⁴/96−1))/π⁴ < tan t/t < 1 + (32t²)/(π²(π²−4t²)) + (8t²(5−π²/2))/π⁴이며, 이는 베커-스타르 불등식을 향상시킨다.
• tanh t의 전개에서의 나머지 항은 모든 실수 t에 대해 τ_N(t) = (−1)^N × (2^{2N+3}t^{2N+1}/π^{2N}) × ∑_{k=1}^∞ 1/[(2k−1)^{2N}(π²(2k−1)²+4t²)]로 표현되며, 유효하다.
• sec t에 대해 0 < x < π/2 범위에서 다음 불등식이 성립한다: |E_{2N}|/(2N)! < (sec x − s_N(x))/(x^{2N−1} tan x) < (2/π)^{2N−1}, 양 끝 상수 모두 최적이다.
• 극한 행동 lim_{x→0} (sec x − s_N(x))/(x^{2N−1} tan x) = |E_{2N}|/(2N)! 및 lim_{x→π/2} = (2/π)^{2N−1}은 경계의 날카운 성질을 확인한다.
• 논문은 귀납법과 삼각함수 도함수의 재귀 관계를 이용하여 항등식 ∑_{k=N+2}^∞ 1/(4k²−1)² = (1/8)ψ′(N+3/2) − (N+2)/(2(2N+3)²)를 증명한다.