[논문 리뷰] Series representations of the Riemann and Hurwitz zeta functions and series and integral representations of the first Stieltjes constant

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 25.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 베르누이 수(Nörlund 다항식)를 사용하여 리만 및 허위츠 제타 함수의 새로운 급수 표현을 제시하며, 전체 복소평면으로의 해석적 계속을 가능하게 한다. 주요 기여는 첫 번째 스틸체스 상수 $\gamma_1(a)$에 대한 새로운 적분 및 급수 표현으로, 이는 이전 결과들을 통합하고 확장하며, 루빈의 결과를 포함한다.

ABSTRACT

We develop series representations for the Hurwitz and Riemann zeta functions in terms of generalized Bernoulli numbers (Nörlund polynomials), that give the analytic continuation of these functions to the entire complex plane. Special cases yield series representations of a wide variety of special functions and numbers, including log Gamma, the digamma, and polygamma functions. A further byproduct is that $ζ(n)$ values emerge as nonlinear Euler sums in terms of generalized harmonic numbers. We additionally obtain series and integral representations of the first Stieltjes constant $γ_1(a)$. The presentation unifies some earlier results.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 베르누이 수(Nörlund 다항식)를 사용하여 허위츠 및 리만 제타 함수의 급수 표현을 개발하여 전체 복소평면으로의 해석적 계속을 실현한다.
• 최근의 결과들, 예를 들어 루빈의 결과들을 통합하고 확장하는 첫 번째 스틸체스 상수 $\gamma_1(a)$에 대한 새로운 급수 및 적분 표현을 도출한다.
• $\zeta(n)$ 값이 일반화된 조화수를 포함하는 비선형 오일러 합으로 나타남을 보여준다.
• 동일한 프레임워크를 통해 디감마, 다감마, 로그 감마 함수 등의 특수함수에 대한 통합된 급수 표현을 제공한다.

제안 방법

• 관계식 $\zeta(s,a) = \frac{\Gamma(a)}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{s+k-1} \frac{\Gamma(s+k-1)}{\Gamma(s+k+a-1)}$ 를 통해 일반화된 베르누이 수 $B_k^{(s+k-1)}$ 를 이용한 $\zeta(s,a)$ 의 급수 표현을 유도한다.
• Nörlund 다항식의 생성함수 $\left(\frac{z}{e^z - 1}\right)^\alpha e^{xz} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n^{(\alpha)}(x) \frac{z^n}{n!}$ 를 사용하여 급수의 계수를 표현한다.
• 제타 함수와 다감마 함수를 연결하기 위해 적분 표현 $\psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1,x)$ 를 적용한다.
• 제타 함수 $\zeta(s,a)$ 를 $s=1$ 근처에서 로렌트 전개 분석을 통해 $\gamma_1(a)$ 의 적분 형태를 유도한다.
• 포흐하머 기호의 도함수를 통해 정의된 일반화된 제1종 스틸링 수 $s(\lambda,k)$ 를 사용하여 조화수 항등식을 표현한다.
• 적분 및 급수 항등식을 활용하여 기능 방정식과 알려진 항등식, 예를 들어 $\psi'(x+1) = \psi'(x) - 1/x^2$ 등을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허위츠 제타 함수 $\zeta(s,a)$ 는 일반화된 베르누이 수를 통해 어떻게 표현될 수 있으며, 이를 통해 전체 복소평면으로의 해석적 계속이 가능해지는가?
• RQ2 이 프레임워크를 사용하여 첫 번째 스틸체스 상수 $\gamma_1(a)$ 에 대한 새로운 적분 및 급수 표현은 무엇인가?
• RQ3 $\zeta(n)$ 값은 일반화된 조화수를 포함하는 비선형 오일러 합과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 이 접근법은 루빈의 $\gamma_1(a)$ 연구 결과와 같이 이전 결과들을 어떻게 통합하고 확장하는가?
• RQ5 디감마 및 다감마 함수는 이 급수 프레임워크를 통해 체계적으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\zeta(s,a)$ 에 대한 새로운 급수 표현을 도출한다: $\zeta(s,a) = \frac{\Gamma(a)}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{s+k-1} \frac{\Gamma(s+k-1)}{\Gamma(s+k+a-1)}$, 이는 $s \neq 1$ 이고 $\operatorname{Re} a > 0$ 인 경우에 유효하며 해석적 계속을 가능하게 한다.
• 리만 제타 함수의 경우 표현은 $\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \frac{1}{s-1} + \frac{1}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{(s+k-1)^2}$ 로 간소화된다.
• 첫 번째 스틸체스 상수 $\gamma_1(a)$ 는 $\zeta(s,a)$ 의 급수 전개로부터 유도된 새로운 적분 표현을 통해 표현되며, 이는 이전 결과들을 포함하고 일반화한다.
• 삼각도 함수는 $\psi'(x) = \Gamma(x) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{k+1} \frac{1}{\Gamma(x+k+1)}$ 를 만족하며, 이는 알려진 기능 방정식 $\psi'(x+1) = \psi'(x) - 1/x^2$ 를 복원한다.
• 논문은 정수 $n \geq 2$ 에 대해 $\zeta(n)$ 이 비선형 오일러 합으로 나타남을 보여준다: $\zeta(n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{H_k^{(n-1)}}{k^n}$, 여기서 $H_k^{(r)}$ 는 일반화된 조화수이다.
• 새로운 적분 항등식이 확립된다: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k! H_k}{(x)_{k+2}} = \frac{1}{2} \int_0^1 t^{x-1} \ln^2 t \, dt = \frac{1}{x^3}$, 이는 사감마 함수의 기능 방정식을 확인한다.