[논문 리뷰] Sesqui-arrays, a generalisation of triple arrays

R. A. Bailey, Peter J‎. Cameron외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 09.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 삼중 배열의 일반화인 세스키-어레이를 소개한다. 이는 행-열 문자 공존 조건을 완화하면서도 행과 열 구성 설계의 균형을 유지한다. 라틴 제곱, 실베스터 그래프, 이중 평면을 사용한 세 가지 새로운 구성 방법을 제시하여 통계 실험에서 최적 또는 근사 최적 효율성을 달성하는 데 응용 가능한 조합 설계의 새로운 가족을 제공한다.

ABSTRACT

A triple array is a rectangular array containing letters, each letter occurring equally often with no repeats in rows or columns, such that the number of letters common to two rows, two columns, or a row and a column are (possibly different) non-zero constants. Deleting the condition on the letters common to a row and a column gives a double array. We propose the term \emph{sesqui-array} for such an array when only the condition on pairs of columns is deleted. Thus all triple arrays are sesqui-arrays. In this paper we give three constructions for sesqui-arrays. The first gives $(n+1) imes n^2$ arrays on $n(n+1)$ letters for $n\geq 2$. (Such an array for $n=2$ was found by Bagchi.) This construction uses Latin squares. The second uses the \emph{Sylvester graph}, a subgraph of the Hoffman--Singleton graph, to build a good block design for $36$ treatments in $42$ blocks of size~$6$, and then uses this in a $7 imes 36$ sesqui-array for $42$ letters. We also give a construction for $K imes(K-1)(K-2)/2$ sesqui-arrays on $K(K-1)/2$ letters. This construction uses biplanes. It starts with a block of a biplane and produces an array which satisfies the requirements for a sesqui-array except possibly that of having no repeated letters in a row or column. We show that this condition holds if and only if the \emph{Hussain chains} for the selected block contain no $4$-cycles. A sufficient condition for the construction to give a triple array is that each Hussain chain is a union of $3$-cycles; but this condition is not necessary, and we give a few further examples. We also discuss the question of which of these arrays provide good designs for experiments.

연구 동기 및 목표

• 행-열 공존 조건을 완화함으로써 삼중 배열의 일반화로 세스키-어레이의 개념을 제안하고 체계화하는 것.
• 실험 설계에 적합한 균형과 효율성 특성을 갖춘 세스키-어레이를 생성하는 새로운 조합 구성 방법을 개발하는 것.
• 이러한 어레이가 통계 실험에서 최적 또는 근사 최적 설계를 제공하는 조건을 조사하는 것.
• 특히 허신 사슬 성질에 초점을 맞춰, 이중 평면의 구조와 세스키-어레이 구성 간의 관계를 탐구하는 것.
• 실험 설계의 맥락에서 A-, E-, D-최적성과 같은 표준 통계 기준에 따라 세스키-어레이의 최적성을 평가하는 것.

제안 방법

• n ≥ 2일 때, 라틴 제곱에서 유도된 직교 배열을 사용하여 n(n+1)개의 문자를 갖는 (n+1) × n² 세스키-어레이를 구성한다.
• 호프만-싱글턴 그래프의 부분 그래프인 실베스터 그래프를 활용하여, 크기가 6인 블록 36개를 갖는 36×42 블록 설계를 사용해 7×36 세스키-어레이를 구축한다.
• 이중 평면을 활용하여, 블록 하나에서 시작해 K × (K-1)(K-2)/2 세스키-어레이를 (K-1)K/2개의 문자로 생성한다.
• 선택된 이중 평면 블록의 허신 사슬에 4사이클이 존재하지 않도록 하는 조건을 적용하여 행이나 열에 중복된 문자가 없도록 보장한다.
• 조정된 직교성의 핵심 성질인 행렬 조건 N_{RL}N_{LC} = λ_{rc} · J를 적용한다.
• 균형과 최적성에 대한 구성 설계 Δ_{R(L)} 및 Δ_{C(L)}를 분석하여 통계적 효율성 기준과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 평면 기반 구성에서 행이나 열에 중복된 문자가 없도록 하기 위한 필수 및 필요 조건은 무엇인가?
• RQ2 기존 사례 외에 세스키-어레이에서 어떤 k값(각 문자의 등장 횟수)이 실현 가능한가?
• RQ3 모든 이중 배열이 부등식 1/μ_{ARC} ≥ 1/μ_{AR} + 1/μ_{AC} - 1 를 만족하는가? 만약 그렇지 않다면 세스키-어레이에 적용되는 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 비동형 이중 평면이 비동형 이중 또는 세스키-어레이를 유도할 수 있는가, 특히 6×10 구조와 같은 대칭 구성에서 그런가?
• RQ5 세스키-어레이의 열 구성 설계 Δ_{C(L)}에 대해 어떤 약한 부등식이나 구조적 제약 조건이 지배하는가?

주요 결과

• 라틴 제곱 기반 구성은 n ≥ 2일 때 n(n+1)개의 문자를 갖는 (n+1) × n² 세스키-어레이를 생성하며, 이는 바그치가 기존에 알려진 n=2 사례를 일반화한 것이다.
• 실베스터 그래프 구성은 크기가 6인 36개의 블록을 갖는 36-처리, 42-블록 설계를 사용하여 42개의 문자로 이루어진 7×36 세스키-어레이를 생성한다. 이 설계는 그래프의 구조에서 유도된다.
• 이중 평면 기반 구성은 (K-1)K/2개의 문자를 갖는 K × (K-1)(K-2)/2 세스키-어레이를 생성한다. 중복 방지를 위한 조건은 허신 사슬에 4사이클이 존재하지 않는 것과 동치이다.
• 이러한 구성이 삼중 배열을 유도하기 위한 충분조건은 모든 허신 사슬이 3사이클의 합집합이어야 한다는 것이지만, 이는 필수 조건은 아니다.
• 논문은 조정된 직교성과 최적의 구성 설계(Δ_{L(R)} 및 Δ_{L(C)})가 일반 균형이 성립할 경우 전체 설계 Δ_{L(R,C)}의 최적성을 보장함을 확인한다.
• 이론적 결과는 조정된 직교성을 갖는 설계들 중에서 전체 A-최적성을 달성하기 위한 최선의 전략은 두 구성 설계 모두 A-최적이 되도록 보장하는 것임을 보여주지만, 일반 균형이 성립하지 않을 경우 예외가 존재한다.