[논문 리뷰] Set-theoretic problems concerning Lindelof spaces

Franklin D. Tall|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 14.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 장기간에 걸쳐 남아 있는 리인델뢰프 공간에 관한 집합론적 문제들을 조사하며, 제품적으로 리인델뢰프, 알스터, 멩거, D-공간 간의 상호작용에 초점을 맞춘다. 포스팅, 대규모 기수, 그리고 프로젝티브 방법을 사용하여, CH 또는 대규모 기수 가정 하에서 제품적으로 리인델뢰프 공간은 멩거이고, 따라서 D-공간임을 증명한다. 또한 포스팅 확장 하에서 리인델뢰프 부분공간과 위상적 성질의 일致성 결과를 탐구한다.

ABSTRACT

I survey problems concerning Lindelof spaces which have partial set- theoretic solutions.

연구 동기 및 목표

• 포스팅과 대규모 기수를 통한 부분적 해결이 이루어진 리인델뢰프 공간에 관한 미해결 집합론적 문제들을 조사하기.
• 특히 CH 또는 대규모 기수 가정 하에서 제품적으로 리인델뢰프 공간이 반드시 알스터 또는 D-공간인지 탐구하기.
• 포스팅 확장 하에서 크기가 ℵ₁인 리인델뢰프 부분공간의 존재를 탐색하기.
• 리인델뢰프 수의 Gδ-위상과 리인델뢰프 공간의 곱에서의 행동을 검토하기.
• 포스팅 및 기본 하위모델과 같은 집합론적 방법을 통해 멩거 또는 D-공간과 같은 위상적 성질이 유지되거나 유도될 수 있는지 결정하기.

제안 방법

• CH, GCH, 쿠네인 붕괴 등의 포스팅 확장을 사용하여 멩거 또는 D-공간과 같은 위상적 성질이 성립하는 모델을 구성하기.
• 초구형, 거대 기수 등의 대규모 기수 통합을 적용하여 포스팅 하에서 리인델뢰프성의 유지 분석 및 크기가 ℵ₁인 부분공간 구성하기.
• 기본 하위모델과 일반화된 통합을 사용하여 포스팅 확장 하에서 공간의 이미지와 그 위상적 성질 분석하기.
• 프로젝티브 성질(예: 프로젝티브로 σ-콤���, 프로젝티브로 멩거)을 활용하여 연속적 상이를 통한 메트릭 공간에서 일반 리인델뢰프 공간으로 결과 이행하기.
• 대각선 곱 구성 기법을 사용하여 분리 가능 메트릭 공간의 상이에서 커버를 원래 공간으로 올리기.
• 아르한겔스키의 연속적 상 이론을 적용하여 일반 리인델뢰프 문제를 알려진 커버링 성질(예: 멩거)이 적용 가능한 메트릭 설정으로 환원하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 제품적으로 리인델뢰프 공간은 반드시 강력히 리인델뢰프인가?
• RQ2 모든 제품적으로 리인델뢰프 공간은 알스터 성질을 만족하는가?
• RQ3 크기가 ℵ₁인 모든 리인델뢰프 공간은 D-공간 성질을 만족하는가?
• RQ4 ZFC 또는 대규모 기수 가정 하에서 크기가 ℵ₂인 모든 리인델뢰프 공간이 크기가 ℵ₁인 리인델뢰프 부분공간을 가질 수 있는가?
• RQ5 ZFC에서 리인델뢰프 공간의 Gδ-위상에서의 리인델뢰프 수가 2^ℵ₀를 초과할 수 있는가?

주요 결과

• CH는 모든 제품적으로 리인델뢰프 공간이 멩거이고, 따라서 D-공간임을 암시한다.
• CH는 모든 무게 ≤ ℵ₁인 제품적으로 리인델뢰프 공간이 알스터이며, 따라서 제품적으로도, 강력히도 리인델뢰프임을 암시한다.
• 초구형 기수 가정 하에서 GCH와 일致하는 모델이 존재하며, 크기가 ℵ₂이고 특성이 ≤ ℵ₁인 모든 로스버거 공간은 크기가 ℵ₁인 로스버거 부분공간을 가진다.
• 거대 기수 가정 하에서 GCH와 일치하는 모델이 존재하며, 크기가 ℵ₂이고 첫 번째 가산성을 가진 모든 리인델뢰프 공간은 크기가 ℵ₁인 리인델뢰프 부분공간을 가진다.
• 두 리인델뢰프 공간의 곱에서 리인델뢰프 수가 2^ℵ₀를 초과할 수 있음을 셜라와 가르티가 증명했지만, ZFC에서의 예는 알려져 있지 않다.
• 모든 비가산 가산 밀도를 가진 컴팩트 공간이 크기가 ℵ₁인 리인델뢰프 부분공간을 가질 수 있다는 것은 일치 가능하지만, ZFC에서는 여전히 열려있다.