[논문 리뷰] Sets, Lists and Noncrossing Partitions

David Callan|ArXiv.org|2007. 11. 29.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 [n]의 분할을 리스트의 집합으로 나누는 것과 비틀림이 없는 집합의 리스트로 나누는 것 사이의 전단사적 동치를 확립하며, Dyck 경로와 피크 레이블링을 사용한 구성적 사상으로 이들이 등수적임을 증명한다. 정수 수열에 대한 '비틀림이 없는 분할 변환'을 도입하고, 비틀림이 없는 리스트의 리스트로 나누는 분할을 세는 재귀 관계를 유도한다. 이때 생성함수로 A088368 수열이 비틀림이 없는 집합의 리스트 분할에 대응한다.

ABSTRACT

Partitions of [n]={1,2,...,n} into sets of lists are counted by sequence number A000262 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. They are somewhat less numerous than partitions of [n] into lists of sets, A000670. Here we observe that the former are actually equinumerous with partitions of [n] into lists of *noncrossing* sets and give a bijective proof. We show that partitions of [n] into sets of noncrossing lists are counted by A088368 and generalize this result to introduce a transform on integer sequences that we dub the "noncrossing partition" transform. We also derive recurrence relations to count partitions of [n] into lists of noncrossing lists.

연구 동기 및 목표

• 정수 [n]의 분할을 리스트의 집합으로 나누는 것과 비틀림이 없는 집합의 리스트로 나누는 것 사이의 전단사적 대응을 확립한다.
• 정수 [n]의 분할을 비틀림이 없는 리스트의 집합으로 나누는 수가 수열 A088368로 주어진다는 것을 보인다.
• 정수 수열에 대한 새로운 변환, 즉 '비틀림이 없는 분할 변환'을 정의하고 그 성질을 보여준다.
• 비틀림이 없는 리스트의 리스트로 나누는 [n]의 분할을 세는 재귀 관계를 유도하며, 다항계수와 블록 구조를 포함한 명시적 공식을 제시한다.

제안 방법

• 피크 레이블이 있는 Dyck 경로와 비틀림이 없는 집합의 리스트로 나누는 분할 사이의 전단사적 사상을 사용하며, 피크 레이블이 블록 순서에 대응한다.
• 경로의 열 데이터에 순환 회전과 부분합 연산을 적용하여 Dyck 경로를 리스트의 집합 분할로 매핑한다.
• 생성함수를 통해 비틀림이 없는 분할 변환을 정의하며, A(x) = sum_{k=0}^∞ k! (x A(x))^k 를 보여준다.
• 블록 분해와 다항계수를 사용하여, [n]을 j개의 비틀림이 없는 리스트의 리스트로 나누는 수 u(n,j)에 대한 재귀 관계를 도출한다.
• 블록 길이, 블록 수, 내부 순서를 고려한 정밀화된 재귀 관계 (6)을 도입하며, u(b_i, c_i)/c_i! 형태로 표현한다.
• 생성함수를 사용하여 재귀 합의 항의 수를 분석하고, 새로운 생성함수 (7)과 이항계수를 포함한 정밀화된 형태를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 [n]의 분할을 리스트의 집합으로 나누는 것과 비틀림이 없는 집합의 리스트로 나누는 것이 등수적일까? 만약 그렇다면 직접적인 전단사적 사상은 구성할 수 있는가?
• RQ2 정수 [n]의 분할을 비틀림이 없는 리스트의 집합으로 나누는 수의 생성함수는 무엇이며, 기존 수열과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 일반적인 변환을 정수 수열에 대해 정의할 수 있는가? 이는 표준 분할 수를 그 비틀림이 없는 해석으로 매핑하는가?
• RQ4 비틀림이 없는 리스트의 리스트로 나누는 [n]의 분할 수를 세는 데 기반하는 재귀적 구조는 무엇이며, 이를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 재귀 합의 항 수는 n에 따라 어떻게 증가하는가? 대칭성과 다항계수 묶음을 활용하여 최적화할 수 있는가?

주요 결과

• 정수 [n]의 분할을 리스트의 집합으로 나누는 것과 비틀림이 없는 집합의 리스트로 나누는 것이 피크 레이블이 있는 Dyck 경로를 통한 전단사적 사상으로 등수적임을 증명한다.
• 정수 [n]의 분할을 비틀림이 없는 리스트의 집합으로 나누는 수는 수열 A088368로 주어지며, 생성함수 A(x) = sum_{k=0}^∞ k! (x A(x))^k 를 가진다.
• 비틀림이 없는 리스트의 리스트로 나누는 [n]의 분할 수 u(n,j)에 대한 재귀 관계는 블록 분해와 다항계수를 사용하여 도출된다.
• 비틀림이 없는 리스트의 리스트로 나누는 [n]의 총 수 u(n)은 (1, 4, 24, 184, 1680, 17592, 206472, 2674752, ...)로 시작하며, 이는 수열 A088368과 일치한다.
• u(n)에 대한 재귀 합의 항 수는 n의 모든 정수 분할 π에 대해 π⁻¹의 비영인 항의 곱의 합으로 주어지며, 생성함수는 1/(1−x) ∏_{k≥2} 1/(1−(k−1)x^k 이다.
• 같은 b_i 값을 묶고 이항계수를 사용함으로써 재귀의 항 수를 줄일 수 있으며, 이는 정밀화된 생성함수 ∏_{k≥2} 1/(1−x^k)^{k−1} 로 이어진다.