[논문 리뷰] Sets with small angles in self-contracted curves

Vladimir Zolotov|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 01.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 'SRA(α)-free' 공간, 즉 큰 부분공간이 작은 날카로운 각을 가지지 않는 메트릭 공간을 도입함으로써, 넓은 범주에 속하는 메트릭 공간에서 유계(self-contracted) 곡선의 직선성(rectifiability)을 확립한다. 비직선성(self-contracted) 곡선은 반드시 임의로 큰 SRA(α) 부분공간을 포함해야 하며, 따라서 반전 가능한 $C^\infty$-Finsler 다양체, 국소적으로 컴acts한 $\textrm{CAT}(k)$-공간(지오데식선이 연장 가능한 경우), 그리고 동일한 조건을 만족하는 Busemann 공간에서는 유계 self-contracted 곡선이 직선성이 있음을 보인다.

ABSTRACT

We study metric spaces with bounded rough angles. E. Le Donne, T. Rajala and E. Walsberg implicitly used this notion to show that infinite snowflakes can not be isometrically embedded into finite dimensional Banach spaces. We show that bounded non-rectifiable self-contracted curves contain metric subspaces with bounded rough angles. Which provides rectifiability of bounded self-contracted curves in a wide class of metric spaces including reversible $C^{\infty}$-Finsler manifolds, locally compact $CAT(k)$-spaces with locally extendable geodesics and locally compact Busemann spaces with locally extendable geodesics. We also extend the result on non embeddability of infinite snowflakes to this class of spaces.

연구 동기 및 목표

• 유계 self-contracted 곡선의 직선성을 유클리드 및 리만 기하학 외의 광범위한 메트릭 공간에서 확립하는 것.
• 직선성을 방해하는 기하학적 장애물—작은 날카로운 각을 가진 부분공간(SRA(α) 부분공간)—을 규명하는 것.
• 이러한 부분공간이 존재하지 않는 것(즉, SRA(α)-free)가 직선성의 존재를 암시함을 보이는 것.
• 무한 스노플레이크(infinite snowflakes)가 유한 차원 바나흐 공간에 임베딩될 수 없음이라는 결과를 더 넓은 범주로 확장하는 것.
• 새로운 내재 기하학적 프레임워크를 사용하여 이전의 $\textrm{CAT}(0)$, 리만, 노름공간에서의 직선성 결과를 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 메트릭 공간에서 균일하게 작은 날카로운 각을 가지는 성질을 캡처하는 $\textrm{SRA}({\beta})$ 공간의 개념을 도입하며, 이는 부등식 $ d(x,y) \leq \max\{ d(x,z) + \alpha d(z,y), \alpha d(x,z) + d(z,y) \} $ 로 정의된다.
• 자기 수축 곡선의 이산적 구조를 모델링하기 위해, $ i \leq j \leq k $ 인 경우 $ d(x_i,x_j) \leq d(x_i,x_k) $ 를 만족하는 유한 메트릭 집합으로서 이산 자기확장(Discrete Self-Expanding, DSE) 공간을 정의한다.
• DSE 공간의 총 길이 $ L(X) $ 가 $ C({\alpha},k) \cdot D(X) $ 를 초과하면, 그 안에 $ k $-점 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $ 부분공간이 존재함을 증명한다 (정리 2).
• 일부 $ k $ 에 대해 $ k $-점 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $ 부분공간이 없는 공간—즉, $ \textrm{SRA}({\alpha}) $-free 공간—은 유계 self-contracted 곡선의 직선성을 보장한다.
• 람지 이론적 접근과 고위치 원리(파인딩 원리)를 적용하여, $ \textrm{LEG} $ 및 $ \textrm{LRB} $ 조건을 만족하는 공간이 국소적으로 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $-free임을 보인다.
• 모순에 의한 증명: 곡선이 비직선적이라면, 그 상(image)은 임의로 큰 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $ 부분공간을 포함해야 하며, 이는 목표 공간의 국소적 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $-freeness와 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유클리드 및 리만 기하학 외의 일반 메트릭 공간에서 유계 self-contracted 곡선의 직선성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 self-contracted 곡선의 직선성을 방해하는 내재 기하학적 성질은 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 메트릭 공간의 self-contracted 곡선이 여전히 직선성이 유지되는가?
• RQ4 무한 스노플레이크가 유한 차원 바나흐 공간에 임베딩될 수 없음이라는 결과를 다른 메트릭 공간 범주로 확장할 수 있는가?
• RQ5 지오데식선 연장 가능성 및 곡률 한계와 같은 기하 조건은 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $ 부분공간의 부재와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 비직선 self-contracted 곡선은 임의로 큰 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $ 부분공간을 포함하며, 이는 $ \frac{1}{2} < \alpha < 1 $ 인 모든 $ \alpha $ 에 대해 정리 2에 의해 정밀하게 기술된다.
• 완전한 반전 가능한 $ C^\infty $-Finsler 다양체에서는 국소적 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $-freeness 때문에 유계 self-contracted 곡선이 직선성이 있음을 보인다.
• 완전하고 국소적으로 컴팩트한 $ \textrm{CAT}(k) $-공간에서 지오데식선이 국소적으로 연장 가능한 경우, $ \textrm{LEG} $ 및 $ \textrm{LRB} $ 조건을 만족하므로 유계 self-contracted 곡선이 직선성이 있다.
• 완전하고 국소적으로 컴팩트한 Busemann 공간에서 지오데식선이 국소적으로 연장 가능한 경우, 동일하게 국소적 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $-freeness 때문에 유계 self-contracted 곡선이 직선성이 있다.
• 무한 스노플레이크가 유한 차원 바나흐 공간에 임베딩될 수 없음이라는 결과는 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $-free 공간 전반에 대해 확장되며, 이는 위의 범주를 포함한다.
• 공의 두 배율 조건(doubling condition)은 이러한 공간 내에서 $ \textrm{SRA}({\alpha}) $-free 집합의 크기가 균일하게 유계임을 암시하며, 이는 고위치 원리에 의한 직선성 결과를 뒷받침한다.