[논문 리뷰] Settling the Complexity of Arrow-Debreu Equilibria in Markets with Additively Separable Utilities

Xi Chen, Decheng Dai외 2명|ArXiv.org|2009. 04. 03.

Economic theories and models참고 문헌 30인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 추가 가분성, 조각별 선형성, 그리고 볼록성(PLC)을 가진 유틸리티 함수를 가진 시장에서 애로우-드브르 시장 균형을 계산하는 것이 PPAD-완전함을 입증한다. 저자들은 희박한 이행행렬 게임 문제로의 축소를 통해 이에 대한 증명을 하여, PPAD가 P에 속하지 않는 한 완전 다항 시간 근사 스킴(FPTAS)이 존재하지 않음을 보였다.

ABSTRACT

We prove that the problem of computing an Arrow-Debreu market equilibrium is PPAD-complete even when all traders use additively separable, piecewise-linear and concave utility functions. In fact, our proof shows that this market-equilibrium problem does not have a fully polynomial-time approximation scheme unless every problem in PPAD is solvable in polynomial time.

연구 동기 및 목표

• 추가 가분성 조각별 선형 볼록(PLC) 유틸리티를 가진 시장 균형을 계산하는 것이 다항 시간 내에 가능한지 아니면 PPAD-어려운지에 대한 오랫동안 열려 있던 질문을 해결하기 위해.
• 선형 유틸리티(다항 시간 내에 해결 가능)와 더 일반적인 볼록 유틸리티 사이의 복잡도 갭을 메우기 위해.
• 추가 가분성 PLC 유틸리티에 대한 제약 조건이 있더라도 PPAD-완전한 시장 균형 문제를 구성하기 위해.
• 이 문제에 대해 완전 다항 시간 근사 스킴(FPTAS)이 존재하지 않음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 모든 재화에 대해 근사 균형 가격이 [1,2] 범위에 있도록 제약을 두는 n개의 재화를 가진 가격 조절 시장 M_n의 가족을 구성하기 위해.
• 작은 보유량을 가진 추가 거래자로부터의 작은 변화에 대해 가격 조절 성질이 안정적임을 이용하여 가격 제약 조건을 유지하기 위해.
• 희박한 이행행렬 게임의 변수들을 구성된 시장의 정규화된 균형 가격에 인코딩하기 위해.
• 균형 가격 벡터에 대한 제약 조건을 강제하기 위해 특정 유틸리티 함수와 보유량을 가진 새로운 거래자를 설계하기 위해.
• 구성된 시장에서의 근사 균형 가격이 원래 게임의 잘 지원된 근사 네시 균형과 정확히 일치함을 증명하기 위해.
• 희박한 이행행렬 게임 문제로의 축소를 이용하여 시장 균형 문제의 PPAD-완전성을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가 가분성 조각별 선형 볼록(PLC) 유틸리티 함수를 가진 애로우-드브르 균형을 계산하는 것은 다항 시간 내에 가능한가 아니면 PPAD-어려운가?
• RQ2 이 시장 균형 문제에 대해 완전 다항 시간 근사 스킴(FPTAS)이 존재할 수 있는가?
• RQ3 유틸리티 함수가 추가 가분성이고 조각별 선형이며 소수의 세그먼트를 가질 경우에도 문제의 복잡도가 여전히 높은가?
• RQ4 희박한 이행행렬 게임의 구조를 PLC 유틸리티를 가진 경쟁적 교환 시장에 인코딩하여 그 균형을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 추가 거래자로부터의 작은 변화에 대해 구성된 시장의 가격 조절 성질이 안정적인가?

주요 결과

• 모든 거래자가 추가 가분성, 조각별 선형, 볼록 유틸리티 함수를 사용하는 애로우-드브르 시장 균형 계산 문제는 여전히 PPAD-완전하다.
• 모든 PPAD 문제들이 다항 시간 내에 해결 가능하지 않는 한, 이 시장 균형 문제는 완전 다항 시간 근사 스킴(FPTAS)을 가질 수 없다.
• 2선형 시장(각 유틸리티 함수에 두 개의 세그먼트)조차도 PPAD-완전하므로, 최소한의 비선형성에서도 복잡도가 발생함을 보여준다.
• 가격 조절 성질은 정규화된 균형 가격이 [1,2] 범위에 있음을 보장하여, 가격 이동을 통해 [0,1] 범위의 실수 변수를 인코딩할 수 있게 한다.
• 작은 보유량 변화에 대한 가격 조절 성질의 안정성 덕분에 게임 이론적 균형을 시뮬레이션할 수 있는 강력한 시장 구축이 가능하다.
• 구성된 시장에서의 근사 균형은 원래의 희박한 이행행렬 게임의 잘 지원된 근사 네시 균형과 정확히 일치한다.