[논문 리뷰] Several classes of minimal linear codes with few weights from weakly regular plateaued functions

Sihem Mesnager, Ahmet Sınak|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 11.

Coding theory and cryptography참고 문헌 35인용 수 89

한 줄 요약

본 논문은 홀수 특성의 유한체 위에서 약하게 규칙적인 plateaued 함수로부터 선형 코드를 구성하고, 그 가중치 분포를 결정하며, 최소 부분코드를 도출하고, 코드의 최소성을 증명하여 코드의 쌍대 코드로부터 멋진 비밀 공유 체계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Minimal linear codes have significant applications in secret sharing schemes and secure two-party computation. There are several methods to construct linear codes, one of which is based on functions over finite fields. Recently, many construction methods of linear codes based on functions have been proposed in the literature. In this paper, we generalize the recent construction methods given by Tang et al. in [IEEE Transactions on Information Theory, 62(3), 1166-1176, 2016] to weakly regular plateaued functions over finite fields of odd characteristic. We first construct three weight linear codes from weakly regular plateaued functions based on the second generic construction and determine their weight distributions. We next give a subcode with two or three weights of each constructed code as well as its parameter. We finally show that the constructed codes in this paper are minimal, which confirms that the secret sharing schemes based on their dual codes have the nice access structures.

연구 동기 및 목표

• 약하게 규칙적인 plateaued 함수를 사용하여 가짓수가 적은 가중치를 가지는 선형 코드를 구성하는 동기를 제시한다.
• 이상의 일반적 두 번째 일반적 구성 방법을 홀수 특성 설정으로 일반화한다.
• 이 함수들로부터 세 가지 가중치의 코드와 두/세 가중치의 코드의 가중치 분포를 도출한다.
• 최소 코드를 생성하고 이들의 쌍대들을 비밀 공유 체계의 접근 구조를 분석한다.

제안 방법

• 유한체의 함수로부터 선형 코드의 두 번째 일반적 구성을 활용한다.
• 약하게 규칙적인 p-진 s-plateaued 함수와 그 Walsh 변환을 특징지운다.
• 지수합 기술과 Walsh 변환 특성을 이용하여 가중치 분포를 계산한다.
• 두 가중치 및 세 가중치의 부분코드를 추출하고 그 매개변수를 결정한다.
• Ashikhmin–Barg 조건 및 관련 보조정리를 통해 구성된 코드의 최소성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약하게 규칙적인 plateaued 함수가 홀수 특성의 유한체 위에서 새롭고 가중치가 적은 최소 선형 코드를 만들 수 있는가?
• RQ2 두 번째 일반적 구성에서 이러한 함수들로부터 얻은 코드의 가중치 분포는 어떠한가?
• RQ3 결과 코드가 어떤 조건에서 최소하며, 이는 쌍대 코드의 비밀 공유 체계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 주 코드를 기반으로 도출된 두 가중치 및 세 가중치 부분코드의 매개변수와 명시적 구성은 어떠한가?
• RQ5 구축된 코드의 쌍대가 비밀 공유를 위한 멋진 접근 구조를 가지는가?

주요 결과

• 약한 규칙적 plateaued 함수를 이용하여 홀수 특성의 유한체 위에서 세 가지 가중치를 갖는 선형 코드를 구성한다.
• 구성된 코드의 가중치 분포를 결정하고 두 가중치 및 세 가중치 부분코드의 조건을 식별한다.
• 구성된 코드가 거의 모든 경우에서 최소하다는 것을 보여주며, 그 쌍대 비밀 공유 체계의 접근 구조가 멋지다는 것을 시사한다.
• 두 번째 일반적 구성에서 bent 함수 기반 구성의 범위를 plateaued 함수로 확장하여 사용할 수 있는 함수의 클래스를 넓힌다.
• plateaued 함수의 Walsh 스펙트럼과 코드 매개변수 및 최소성 사이의 이론적 연결 고리를 제시한다.