[논문 리뷰] Several expressions of the net single premiums under the constant force of mortality

Andrius Grigutis, Laurynas Lukoševičius외 1명|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 08.

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management인용 수 0

한 줄 요약

논문은 상수 사망력에 의한 생존연금의 현재가치 모멘트에 대한 닫힌 형식 표현을 도출하고 이를 실제 사망률 데이터와 Gompertz 모형을 사용하여 UDD 및 Balducci 보간법과 비교합니다.

ABSTRACT

In this article, we present several formulas that make it easier to compute the net single premiums when the mortality force over the fractional ages is assumed to be constant (C). More precisely, we compute the moments of the random variables $ν^{T_x}$, $T_x$, $T_xν^{T_x}$, etc., where $T_x$ denotes the future lifetime of a person who is $x\in\{0,\,1,\,\ldots\}$ years old, and $ν$ is the annual discount multiplier. We verify the obtained formulas on the real data from the human mortality table and the Gompertz survival law. The obtained numbers are compared with the corresponding ones when the survival function over fractional ages is interpolated using the uniform distribution of deaths (UDD) and Balducci's (B) assumptions. We also formulate and prove the statement on the comparison of the moments of the mentioned random variables under assumptions (C), (UDD), and (B).

연구 동기 및 목표

• 상수 사망력(C) 하에서 순단일보험료의 계산을 동기 부여하고 다루기.
• nu^{T_x}, T_x 및 관련 변수의 모멘트에 대한 명시적 공식을 개발하기.
• UDD 및 Balducci 보간법과의 비교를 제공하고 이를 실세계 사망 데이터 및 Gompertz 법칙으로 검증합니다.
• 분수 나이 보간(interpolation) 하에서 다양한 보험급 지급에 대한 보험계리적 값을 계산하는 실용적 지침을 제공합니다.
• 연도 내 부분 분할(j-분할) 및 연도 내 지급액 변화에 대한 확장에 대해 논의합니다.

제안 방법

• x세의 미래 생존 시간에 대한 무작위 변수 T_x를 정의하고 고정합니다. 이자 승수는 nu = 1/(1+i)입니다.
• 상수 사망력(C) 하에서 nu^{T_x}, T_x, T_x nu^{T_x} 및 관련 항의 m-번째 모멘트를 계산합니다.
• 연도별 구간 및 분수 나이에 따른 보정과 함께 모멘트에 대한 명시적 합과 감마 함수 표현식(포함되어 비완전감마)을 도출합니다.
• 분수 나이에 대한 세 가지 보간 스킴(UDD, C, B)을 도입하고 이 스킴들에 대한 기대값 비교 보조정리를 증명합니다.
• 연도 내 분할(j-분할) 및 [T_x]+1 및 j T_x와 같은 표현식과 해당 지급액에 대한 공식을 확장합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 나이 보간을 사용할 때 상수 사망력의 현재가치 부채의 모멘트에 대한 닫힌 형식 표현을 어떻게 얻을 수 있는가?
• RQ2 상수 사망력 하에서의 보험료는 어떻게 UDD 및 Balducci 보간과 비교되는가?
• RQ3 분수 나이 보간이 E[T_x], E[T_x^2], 현재가치 지급액과 같은 주요 보험계리량에 어떤 함의를 가지는가?
• RQ4 연도가 더 작은 구간으로 분할(j-분할)되거나 각 해 내에서 지급액이 증가할 때 추정식은 어떻게 거동하는가?
• RQ5 Gompertz 생존모형이 분수 나이에 대한 상수-힘 보간과 얼마나 잘 부합하는가, 그리고 실제 사망 데이터가 계산된 보험료에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 상수 사망력 하에서 nu^{T_x}, T_x, T_x nu^{T_x}, [T_x+1] nu^{T_x}의 m-번째 모멘트에 대한 명시적 공식이 도출되어 제안 1–4로 제시됩니다.
• 비증가성 g(t) 하에서 UD D, C, B 보간은 특정 g에 대해 E_UDD[g(T_x)] ≤ E_C[g(T_x)] ≤ E_B[g(T_x)]의 순서를 보이고, g가 비증가일 때 부등식이 역전됨(Lemmas 1–2).
• 연도 내 분할(j-분할)에 대해 nu^{([T_x j]+1)/j} 및 관련 항의 모멘트에 대한 새 닫힌 형식 표현이 제공되어 보다 세밀한 현재가치 계산이 가능해집니다(제안 5–6).
• C-보간이 분수 나이에 대해 Gompertz 기반 생존과 밀접하게 일치하는 것으로 나타났고, 실제 사망 데이터를 사용해 Gompertz 및 Balducci 유형 보간과 비교한 결과를 제공합니다.
• 실제 데이터(리투아니아 사망률 표)와 Gompertz 모형으로 네트 단일 보험료 및 관련 모멘트의 수치적 거동을 연령 및 지급액에 따라 보여주는 예시(예시 1–3).
• 증가/감소 지급액을 포함한 다양한 보험상품에 대한 실용적 공식을 제공하고, p_{x+k} → 0 또는 p_{x+k} → 1인 극한 사례를 논의합니다.