[논문 리뷰] Several variable p-adic families of Siegel-Hilbert cusp eigensystems and their Galois representations

Jacques Tilouine, Eric Urban|ArXiv.org|1999. 01. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 전체 실수 체 F 위에서 GSp(4)에 대해, 고차원의 p-진 가속계열을 갖는 Siegel-Hilbert 쌍곡형 특성계열의 여러 변수 p-진 가속계열을 구성한다. 이는 특성계열이 코homological임을 가정할 때 성립한다. F=Q일 경우, 이러한 특성계열에 관련된 세 변수 p-진 가속계열의 갈루아 표현의 존재성을 확립하고, 기하학적 가정 하에 이 가속계열이 이중 포물선에 대해 거의 정상적임을 증명한다.

ABSTRACT

Let F be a totally real field and G=GSp(4)_{/F}. In this paper, we show under a weak assumption that, given a Hecke eigensystem lambda which is (p,P)-ordinary for a fixed parabolic P in G, there exists a several variable p-adic family underline{lambda} of Hecke eigensystems (all of them (p,P)-nearly ordinary) which contains lambda. The assumption is that lambda is cohomological for a regular coefficient system. If F=Q, the number of variables is three. Moreover, in this case, we construct the three variable p-adic family rho_{underline{lambda}} of Galois representations associated to underline{lambda}. Finally, under geometric assumptions (which would be satisfied if one proved that the Galois representations in the family come from Grothendieck motives), we show that rho_{underline{lambda}} is nearly ordinary for the dual parabolic of P. This text is an updated version of our first preprint (issued in the "Prepublication de l'universite Paris-Nord") and will appear in the "Annales Scientifiques de l' E N S".

연구 동기 및 목표

• 전체 실수 체 F 위에서 GSp(4)에 대해 여러 변수 p-진 가속계열을 갖는 Siegel-Hilbert 쌍곡형 특성계열을 구성한다.
• F=Q일 경우, 이러한 특성계열에 관련된 p-진 가속계열 갈루아 표현의 존재성을 확립한다.
• 기하학적 가정 하에, 구성된 갈루아 표현 가속계열이 이중 포물선에 대해 거의 정상적임을 보인다.
• 이전의 거의 정상적 가속계열 결과를 더 높은 차원의 매개변수 공간을 갖는 Siegel-Hilbert 모듈라 형식의 경우로 일반화한다.
• Hilbert-Siegel 모듈라 형식과 p-진 가속계열의 맥락에서 자동형형식과 갈루아 표현을 연결하는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• GSp(4)에 대해 전체 실수 체 F 위에서 (p,P)-거의 정상적 헤케 특성계열 이론을 활용한다.
• 변형 이론적 기법을 적용하여 주어진 (p,P)-정상적 특성계열을 포함하는 여러 변수 p-진 가속계열을 구성한다.
• 특성계열의 코homological 조건을 활용하여 가속계열의 존재를 보장하며, 정규 계수계열에 의존한다.
• F=Q인 경우, 모듈라 형식의 수준과 무게 매개변수로부터 유도되는 세 변수 구조를 활용하여 관련 갈루아 표현 가속계열을 구성한다.
• 기하학적 가정—예를 들어 갈루아 표현이 그로텐디크 모티브에서 유래됨—을 적용하여, 이중 포물선에 대한 거의 정상적 행동을 유도한다.
• 특히 Siegel-Hilbert 모듈라 형식과 관련된 갈루아 표현의 맥락에서 자동형형식 이론과 p-진 가속계열 이론에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 실수 체 위에서 Siegel-Hilbert 모듈라 형식에 대해 여러 변수로 매개변수화된 p-진 특성계열의 가속계열을 구성할 수 있는가?
• RQ2 코homological인 (p,P)-정상적 특성계열이 p-진 변형을 통해 (p,P)-거의 정상적 특성계열의 가속계열로 확장될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 기저 체가 Q일 경우, 관련 갈루아 표현 가속계열의 구조는 어떻게 되며, 몇 개의 변수를 갖는가?
• RQ4 기하학적 가정 하에, 구성된 갈루아 표현 가속계열이 포물선 P의 이중 포물선에 대해 거의 정상적인가?
• RQ5 특성계열 가속계열의 성질은 기저 자동형형식 및 모티브 구조와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 전체 실수 체 F 위에서 GSp(4)에 대해 코homological인 (p,P)-정상적 헤케 특성계열이 존재할 경우, 이를 포함하는 여러 변수 p-진 가속계열의 (p,P)-거의 정상적 특성계열이 존재한다.
• F=Q일 경우, 이 가속계열은 정확히 세 변수를 가지며, 이는 Siegel-Hilbert 모듈라 형식의 삼차원 매개변수 공간에 대응한다.
• 세 변수 p-진 가속계열 갈루아 표현 ρ_{underline{λ}}이 특성계열 가속계열과 관련하여 구성된다.
• 갈루아 표현이 그로텐디크 모티브에서 유래된다는 가정 하에, 가속계열 ρ_{underline{λ}}이 포물선 P의 이중 포물선에 대해 거의 정상적임을 보였다.
• 이러한 결과는 이전의 거의 정상적 가속계열 결과를 더 높은 랭크의 심플렉틱 군과 힐베르트 모듈라 형식의 경우로 일반화한다.
• 결과는 약한 가정만을 필요로 하며, 코homological성과 (p,P)-정상성에 의존하며, Annales Scientifiques de l'ENS에 게재될 것으로 예상된다.