[논문 리뷰] Sextic tensor field theories in rank $3$ and $5$

Dario Benedetti, Nicolas Delporte외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 13.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 69인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 d < 3 차원에서 U(N)³ 및 O(N)⁵ 대칭을 가지는 랭크 3 및 5의 육차 텐서 장 이론을 다루며, 대규모 N 전개를 사용하여 네 루프까지의 β 함수를 계산한다. 멜로닉 상호작용 고정점이 존재함을 규명한다: 랭크-3 모델의 경우, d = 3−ϵ에서 커플링이 ∼√ϵ인 윌슨-피셔 유사 고정점과 실수 커플링 g₁를 가진 장거리 보존자에 대해 연속적인 고정점 선이 존재한다; 랭크-5 모델의 경우 이러한 고정점은 존재하지 않는다. 이중선형 연산자의 스펙트럼은 작은 ϵ 또는 작은 g₁에서 실수임을 확인하여(unitarity)를 지지한다.

ABSTRACT

We study bosonic tensor field theories with sextic interactions in $d<3$ dimensions. We consider two models, with rank-3 and rank-5 tensors, and $U(N)^3$ and $O(N)^5$ symmetry, respectively. For both of them we consider two variations: one with standard short-range free propagator, and one with critical long-range propagator, such that the sextic interactions are marginal in any $d<3$. We derive the set of beta functions at large $N$, compute them explicitly at four loops, and identify the respective fixed points. We find that only the rank-3 models admit a melonic interacting fixed points, with real couplings and critical exponents: for the short-range model, we have a Wilson-Fisher fixed point with couplings of order $\sqrt{\epsilon}$, in $d=3-\epsilon$; for the long-range model, instead we have for any $d<3$ a line of fixed points, parametrized by a real coupling $g_1$ (associated to the so-called wheel interaction). By standard conformal field theory methods, we then study the spectrum of bilinear operators associated to such interacting fixed points, and we find a real spectrum for small $\epsilon$ or small $g_1$.

연구 동기 및 목표

• d < 3 차원에서 육차 상호작용을 가진 스칼라 텐서 장 이론에서 비자명한 상호작용 고정점의 존재를 조사하는 것.
• 단거리 및 임계 장거리 보존자 하에서 랭크-3 및 랭크-5 텐서 모델의 행동을 비교하는 것.
• 멜로닉 지배가 실수 임계 지수와 유니타리 초등형 양자장론(CFT)을 이끌어내는지 결정하는 것.
• 대규모 N 근사에서 네 루프까지의 β 함수를 계산하고 고정점 및 연산자 스펙트럼을 분석하는 것.

제안 방법

• U(N)³ 및 O(N)⁵ 전역 대칭을 가지는 랭크-3 및 랭크-5 텐서 장 이론을 각각 육차 상호작용과 함께 구성한다.
• 두 가지 보존자 유형을 도입한다: 표준 단거리(ζ=1) 및 임계 장거리(ζ=d/3)로, d<3에서 육차 상호작용이 임계가 되도록 한다.
• 2PI 효과적 작용 및 4점 커널을 이용하여 대규모 N 전개를 통해 커플링 상수의 네 루프까지의 β 함수를 계산한다.
• 멜로닉 적분 방법을 적용하여 파동함수 및 정점 보정을 계산하고, 멜로닉 근사에서 슈윙거-다이슨 및 베테-살파터 방정식을 해결한다.
• 네 루프에서 명시적으로 β 함수를 유도하고, β(g*)=0을 풀어 고정점을 규명한다.
• 초등형 양자장론 기법을 사용하여 이중선형 연산자의 스펙트럼을 분석하고 임계 차원 및 OPE 계수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랭크 3 및 5의 육차 텐서 장 이론은 d < 3 차원에서 장거리 보존자를 가질 경우 멜로닉 상호작용 고정점을 갖는가?
• RQ2 특히 장거리 경우에서 실수 커플링과 실수 임계 지수를 달성할 수 있는가?
• RQ3 랭크-3 및 랭크-5 모델에서 단거리 및 장거리 보존자 간의 β 함수와 고정점은 어떻게 다를까?
• RQ4 특히 작은 ϵ 또는 작은 커플링 g₁에서, 상호작용 고정점에서 이중선형 연산자의 스펙트럼은 실수이고 유니타리한가?
• RQ5 대칭(U(N)³ 대비 O(N)⁵)과 텐서 랭크는 멜로닉 지배와 고정점 존재에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 멜로닉 상호작용 고정점과 실수 커플링 및 임계 지수를 갖는 것은 오직 랭크-3 모델에만 해당된다.
• 단거리 랭크-3 모델의 경우, d = 3−ϵ에서 √ϵ 주위의 커플링을 가지는 윌슨-피셔 유사 고정점이 존재한다.
• 장거리 랭크-3 모델의 경우, 실수 커플링 g₁로 매개변수화된 연속적인 고정점 선이 존재하며, 모든 d < 3에서 유효하다.
• 랭크-5 모델은 실수 커플링을 가지는 멜로닉 상호작용 고정점을 갖지 않는다.
• 작은 ϵ(단거리) 또는 작은 g₁(장거리)에서 이중선형 연산자의 스펙트럼은 실수이며, 이는 결과 CFT의 유니타리성을 지지한다.
• 네 루프 β 함수는 명시적으로 계산되었으며, 대규모 N 근사에서 고정점과 임계 지수의 구조를 확인한다.