[논문 리뷰] Shadow price of information in discrete time stochastic optimization

Teemu Pennanen, Ari-Pekka Perkkiö|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 이산시간 스토하스틱 최적화에서 의사결정 전략에 대한 전통적인 유계성 가정을 완화함으로써 정보의 그 sombolic 가격 이론을 확장한다. 쌍대 이중성과 조건부 기대를 활용하여 일반화된 조건 하에서 그 sombolic 가격의 존재성을 입증하며, 이는 이전의 가정이 실패하는 금융수학적 응용 분야에서 최적 해가 존재하고 쌍대 갭이 사라짐을 보여준다. 핵심 기여는 하위미분 조건을 통해 그 sombolic 가격을 특성화하는 이중 동적 프로그래밍 재귀이다.

ABSTRACT

The shadow price of information has played a central role in stochastic optimization ever since its introduction by Rockafellar and Wets in the mid-seventies. This article studies the concept in an extended formulation of the problem and gives relaxed sufficient conditions for its existence. We allow for general adapted decision strategies, which enables one to establish the existence of solutions and the absence of a duality gap e.g. in various problems of financial mathematics where the usual boundedness assumptions fail. As applications, we calculate conjugates and subdifferentials of integral functionals and conditional expectations of normal integrands. We also give a dual form of the general dynamic programming recursion that characterizes shadow prices of information.

연구 동기 및 목표

• 이산시간 스토하스틱 최적화에서 유계 의사결정 전략을 초월하여 정보의 그 sombolic 가격 이론을 확장하기.
• 정상 적인 적분 함수와 의사결정 공간에 대한 가속된 가정 하에서 그 sombolic 가격 존재를 위한 충분조건을 설정하기.
• 전통적인 유계성 조건이 실패하는 금융 최적화 문제에서 최적 해를 특성화하고 쌍대 갭을 제거하기.
• 하위미분 해석학과 조건부 기대를 활용하여 동적 프로그래밍 재귀의 이중 형태를 도출하기.
• 스토하스틱 환경에서 적분 함수와 조건부 기대의 쌍대 이중성 및 하위미분 분석을 위한 일반적 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 프리미얼 문제와 이중 문제 간의 관계를 설정하기 위해 Fenchel-Young 부등식을 통한 쌍대 이중성 프레임워크를 사용한다.
• L∞(Ω, F, P; Rn) 내에서 비유계이지만 적응 가능한 의사결정 전략을 允허하는 일반화된 스토하스틱 최적화 문제의 공식화를 도입한다.
• 비예측 가능 전략을 다루기 위해 가측 선택 정리와 조건부 기대 사영을 적용한다.
• 이중 문제를 v ∈N⊥ 에서 Eh∗(v) 를 최소화하는 것으로 유도한다. 여기서 N⊥ 은 적응 가능한 전략의 아나킬레이터이다.
• 최적성과 하위미분 조건 간의 동치성을 입증한다: 최적의 프리미얼-이중 쌍에 대해 거의 확실하게 v ∈∂h(x) 이다.
• 반복적인 조건부 기대 적용과 하위미분 포함 조건을 통해 이중 동적 프로그래밍 재귀를 개발한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 전략을 가진 이산시간 스토하스틱 최적화에서 정보의 그 sombolic 가격이 존재하는 데 필요한 완화된 조건은 무엇인가?
• RQ2 유계성 가정이 실패하는 금융 최적화 문제에서 쌍대 갭을 어떻게 제거할 수 있는가?
• RQ3 조건부 기대와 하향기울기의 관점에서 일반 동적 프로그래밍 재귀의 이중 표현은 무엇인가?
• RQ4 정상 적인 적분 함수에 대해 쌍대 이중성과 하위미분 해석학은 어떻게 적용되는가?
• RQ5 조건부 기대를 포함하는 재귀적 이중 표현을 통해 그 sombolic 가격을 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 그 sombolic 가격은 v ∈L1 이 0에서의 페르투르베이션 함수 φ 의 하위미분이면 존재한다. 이는 이중 문제 inf_{v∈N⊥} Eh∗(v) 의 최적값이 −φ(0) 가 되는 것과 동치이다.
• 최적 프리미얼 해 x ∈N 가 Eh(x) < ∞ 를 만족하고 v ∈∂h(x) 가 거의 확실하게 성립하면 쌍대 갭이 사라진다.
• 이중 동적 프로그래밍 재귀는 모든 t 에 대해 Etvt ∈∂gt(xt) a.s. 라는 조건으로 특성화되며, 이는 Fenchel 부등식을 통해 최적성을 보장한다.
• 페르투르베이션 함수의 쌍대는 φ∗(v) = Eh∗(v) + δN⊥(v) 이며, 여기서 δN⊥ 은 적응 가능한 전략의 아나킬레이터에 대한 지표 함수이다.
• 가정 1(조건부 기대 닫힘)과 가정 2(아핀 폐쇄의 근사화)를 만족하면 그 sombolic 가격의 존재가 보장되며, 이는 이전의 유계성 조건을 일반화한다.
• 논문은 Eh 가 미약한 적분 가능성 및 상대 내부 조건 하에서 닫힘과 적절함을 보이며, 최적화 문제의 잘 정의됨을 보장한다.