[논문 리뷰] Shafarevich's Conjecture for CY Manifolds I

Kefeng Liu, Andrey Todorov외 2명|ArXiv.org|2003. 08. 22.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 칼라비-유만형(CY) 다양체에 대한 테이히뮐러 공간의 존재를 확립하고, 분류된 CY 다양체의 군집 모듈리 공간의 유한 커버를 구성하여 비특이 준사영 다양체로 만들며, 이를 통해 분류된 CY 다양체의 가속을 가능하게 한다. 또한 샤파레비치의 집합의 유한성과 유카와 쌍형의 비영성 사이의 연관성을 제시하고, 보르체아-보이신 CY 다양체를 이용한 샤파레비치 추측의 이중성에 대한 반례를 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we first study the moduli spaces related to Calabi-Yau manifolds. We then apply the results to the following problem. Let $C$ be a fixed Riemann surface with fixed finite number of points on it. Given a CY manifold with fixed topological type, we consider the set of all families of CY manifolds of the fixed topological type over $C$ with degenerate fibres over the fixed points up to isomorphism. This set is called Shafarevich set. The analogue of Shafarevich conjecture for CY manifolds is for which topological types of CY the Shafarevich set is finite. It is well-known that the analogue of Shafarevich conjecture is closely related to the study of the moduli space of polarized CY manifolds and the moduli space of the maps of fixed Riemann surface to the coarse moduli space of the CY manifolds. We prove the existence of the Teichmüller space of CY manifolds together with a universal family of marked CY manifolds. From this result we derive the existence of a finite cover of the coarse moduli space which is a non-singular quasi-projective manifold. Over this cover we construct a family of polarized CY manifolds. We study the moduli space of maps of the fixed Riemann with fixed points on it to the moduli space of CY manifolds constructed in the paper such that the maps map the fixed points on the Riemann surface to the discriminant locus. If this moduli space of maps is finite then Shafarevich conjecture holds. We relate the analogue of Shafarevich problem to the non-vanishing of the Yukawa coupling. We give also a counter example of the Shafarevich problem for a class of CY manifolds.

연구 동기 및 목표

• 칼라비-유만형(CY) 다양체에 대한 테이히뮐러 공간의 존재와 표준형이 부여된 분류된 CY 다양체의 가속을 증명하는 것.
• 분류된 CY 다양체의 군집 모듈리 공간의 유한 커브를 구성하여 비특이 준사영 다양체로 만드는 것.
• 고정된 리만 곡면에서 고정된 점들에서 분열이 일어나는 CY 다양체의 가속에 대한 동형류의 집합인 샤파레비치 집합의 유한성과 유카와 쌍형의 비영성 간의 관계를 규명하는 것.
• 명시적인 반례를 통해 특정 클래스의 CY 다양체에 대해 샤파레비치의 추측의 이중성 실패를 조사하는 것.

제안 방법

• 등급이 1인 미분형태를 갖는 복소構조의 몫으로서 표준형이 부여된 분류된 CY 다양체의 테이히뮐러 공간을 구성하는 것.
• 힐베르트 스킴을 사용하여 CY 다양체의 가속을 구성하고, 중간 코homology에 대해 항등적일 때의 자동형사상 군 G의 작용을 분석하는 것.
• 군집 모듈리 공간의 유한 커브가 존재하고 비특이 준사영 다양체임을 증명하며, 그 위에 분류된 CY 다양체의 가속을 구성하는 것.
• 하이그스 번들의 이론과 호지 구조의 변화 이론을 적용하여 CY 다양체의 가속에서의 강성과 단일화를 연구하는 것.
• 비숍의 수렴 정리와 켈러 기하학에서의 복소 지수 함수를 사용하여 유계성과 헬름로프릭 임베딩을 분석하는 것.
• 고정점이 없는 대칭을 갖는 K3 곡면과 타원 곡선의 몫으로서 구성된 보르체아-보이신 CY 다양체를 이용하여 반례를 구성함으로써 무한한 샤파레비치 집합을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 칼라비-유만형(CY) 다양체에 대해 테이히뮐러 공간이 존재하는가? 그리고 이는 표준형이 부여된 분류된 CY 다양체의 가속이 존재하는 비특이 복소다양체인가?
• RQ2 분류된 CY 다양체의 군집 모듈리 공간의 유한 커브를 구성하여 비특이 준사영 다양체로 만들 수 있는가?
• RQ3 고정된 리만 곡면(특정 점들 포함)에서 CY 다양체 모듈리 공간으로의 사상의 모듈리 공간이 유한할 조건은 무엇이며, 이는 샤파레비치 집합의 유한성을 의미하는가?
• RQ4 유카와 쌍형의 비영성은 고정된 리만 곡면 위에서의 CY 다양체의 가속의 강성과 유한성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 CY 다양체에 대해 샤파레비치 추측의 이중성에 대한 명시적인 반례가 존재하는가? 이러한 실패의 배경이 되는 기하학적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 칼라비-유만형(CY) 다양체의 테이히뮐러 공간은 존재하며, 유한 개의 기약 성분을 가지며, 각 성분은 비특이 복소다양체이다.
• 분류된 CY 다양체의 군집 모듈리 공간의 유한 커브가 존재하며, 이는 비특이 준사영 다양체이다. 그 위에 분류된 CY 다양체의 가속이 구성된다.
• 샤파레비치 집합의 유한성은 고정된 리만 곡면(특정 점들 포함)에서 CY 다양체 모듈리 공간으로의 사상의 모듈리 공간의 유한성과 동치이며, 이 사상은 특정 점들을 분열지역으로 보낸다.
• 유카와 쌍형의 비영성은 CY 다양체의 가속의 강성에 필수적인 조건이며, 샤파레비치 집합의 유한성과 연결되어 있다.
• 보르체아-보이신 CY 다양체를 이용하여 샤파레비치 추측의 이중성에 대한 반례를 구성하였다. 이는 고정점이 없는 대칭을 갖는 K3 곡면과 타원 곡선의 몫으로서 유도된다.
• 결과로 얻어진 3차원 CY 다양체의 모듈리 공간은 에리네스 곡면의 모듈리 공간과 타원 곡선의 모듈러 곡선의 곱과 동형이며, 이 가속은 비강성이며, 이로 인해 샤파레비치 집합이 무한해진다.