[논문 리뷰] Shallow Circuits with High-Powered Inputs

Pascal Koiran|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 28.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 24인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 다항식의 계수가 희박한 다항식들의 곱의 합으로 구성된 일변수 다항식에 대해 결정론적 블랙박스 항등식 테스팅 알고리즘이 존재할 경우, 영구행렬의 산술 회로 복잡도에 하한을 부과하게 되며, 특히 영구행렬이 VP⁰에 속하지 않음을 의미한다. 핵심 통찰은 이 제한된 클래스에 대한 항등식 테스팅의 결정론화가 대수적 복잡도 이론의 근본적인 하한을 연결한다는 데 있다.

ABSTRACT

A polynomial identity testing algorithm must determine whether an input polynomial (given for instance by an arithmetic circuit) is identically equal to 0. In this paper, we show that a deterministic black-box identity testing algorithm for (high-degree) univariate polynomials would imply a lower bound on the arithmetic complexity of the permanent. The lower bounds that are known to follow from derandomization of (low-degree) multivariate identity testing are weaker. To obtain our lower bound it would be sufficient to derandomize identity testing for polynomials of a very specific norm: sums of products of sparse polynomials with sparse coefficients. This observation leads to new versions of the Shub-Smale tau-conjecture on integer roots of univariate polynomials. In particular, we show that a lower bound for the permanent would follow if one could give a good enough bound on the number of real roots of sums of products of sparse polynomials (Descartes' rule of signs gives such a bound for sparse polynomials and products thereof). In this third version of our paper we show that the same lower bound would follow even if one could only prove a slightly superpolynomial upper bound on the number of real roots. This is a consequence of a new result on reduction to depth 4 for arithmetic circuits which we establish in a companion paper. We also show that an even weaker bound on the number of real roots would suffice to obtain a lower bound on the size of depth 4 circuits computing the permanent.

연구 동기 및 목표

• 대수적 복잡도 이론에서 영구행렬에 대한 하한과 다항식 항등식 테스팅의 결정론화 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 특정 일변수 다항식 클래스—희박한 계수를 가진 다항식들의 곱의 합—에 대한 히팅 세트가 존재할 경우, 영구행렬이 상수를 포함하지 않은 다항식 크기의 산술 회로로 계산될 수 없다는 것을 보여주는 것.
• 희박한 곱의 합으로 이루어진 다항식의 실근에 초점을 맞춘, 더 다룰 만한 새로운 실 τ-추측을 제안하는 것.
• 이러한 다항식의 실근 수에 대한 상한이 약간 초다항식일지라도 강력한 회로 하한을 이끌어낼 수 있는지 탐색하는 것.
• 희박한 곱의 합으로 이루어진 다항식에 대해 실 τ-추측을 증명하거나 반증할 수 있는지 탐구하며, 영구행렬 복잡도에 대한 함의를 고려하는 것.

제안 방법

• 영구행렬에 대한 하한을 증명하는 문제를, 각 f_{ij}가 희박한 다항식이며 계수도 희박한 형태 ∑_{i=1}^m ∏_{j=1}^k f_{ij}(x)를 가진 일변수 다항식의 실근 수를 제한하는 것으로 환원하는 것.
• 블랙박스 항등식 테스팅과 히팅 세트 구성 간의 등가성 이용: 다항식의 가족 F에 대해 히팅 세트 H는 H의 모든 점에서 0이 되지 않는 0이 아닌 f ∈ F 가 존재하지 않음을 보장한다.
• VNP⁰ 내에서 영구행렬의 완전성에 대한 강화된 버전을 적용하여, 이러한 다항식이 너무 많은 실근을 가진다면, 대수적 수 생성기와 같은 어려운 가족을 시뮬레이션할 수 있음을 보여주는 모순을 이끌어내는 것.
• 대수적 수 생성기 f_i(x) = x - i 를 사용하고, g_n(x) = ∏_{i=1}^{2^n} (x - i) 를 구성하여, 실근 수가 지수적 이하일 경우 가정하에 모순을 이끌어내는 것.
• 희박한 다항식 유사 다항식의 실근 수를 분석하기 위해 실대수기하학, 특히 소수항 이론(fewnomial theory)의 결과를 활용하는 것.
• 실근 수에 대한 약간 초다항식 상한(예: c < 1 인 경우 q(s) ≤ 2^{(log s)^{1+c}})이 존재할 경우, 깊이-4 회로로 환원함으로써 영구행렬이 VP⁰에 속하지 않음을 증명하는 데 충분함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 희박한 계수를 가진 다항식들의 곱의 합으로 이루어진 다항식에 대해 결정론적 블랙박스 항등식 테스팅 알고리즘이 존재할 경우, 영구행렬이 VP⁰에 속하지 않음을 의미하는가?
• RQ2 이러한 다항식의 실근 수에 대해 약간 초다항식 상한을 증명하는 것이 가능할까? 이 상한이 충분히 강력한 회로 하한을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ3 k=2일 때조차도, 희박한 다항식들의 곱의 합으로 이루어진 다항식에 대해 실 τ-추측이 성립하는가?
• RQ4 소수항 이론과 같은 실대수기하학 도구를 사용하여 이러한 구조적 다항식의 실근 수를 제한할 수 있는가?
• RQ5 이러한 다항식의 실근 수에 대한 최소 상한은 무엇인가? 이 상한이 여전히 영구행렬에 대한 하한을 이끌어내는 데 충분한가?

주요 결과

• 희박한 계수를 가진 다항식들의 곱의 합으로 이루어진 일변수 다항식에 대해 결정론적 블랙박스 항등식 테스팅 알고리즘이 존재할 경우, 영구행렬이 VP⁰에 속하지 않음을 의미한다.
• 실근 수에 대한 약간 초다항식 상한—구체적으로 c < 1 인 경우 q(s) ≤ 2^{(log s)^{1+c}}—이 존재할 경우, 영구행렬이 VP⁰에 속하지 않음을 증명하는 데 충분하다.
• 실근 수에 대한 더 약한 상한 q(s) = 2^{s^{o(1)}} 이 존재할 경우, 여전히 영구행렬이 다항식 크기의 깊이-4 회로로 계산될 수 없다는 것을 의미한다. 이 회로는 다항식 크기의 정수 상수를 사용한다.
• 이러한 다항식의 실근 수가 q(kmt) 이하이며, q(s) = 2^{s^{o(1)}} 라는 조건을 만족한다고 가정하는 것은 타당하다. 이는 k=1일 때 데카르트의 부호 법칙에 의해 성립하기 때문이다.
• 짧은 산술 회로로 구성되며 많은 실근을 가진 다항식의 예시들(예: 체비세프 다항식)은 희박한 곱의 합으로 이루어진 다항식의 범주에 속하지 않으며, 이는 이 클래스가 잘 행동할 가능성이 있음을 시사한다.
• 이 클래스에 대해 실 τ-추측을 반증하면, 많은 실근을 가진 새로운 희박한 유사 다항식의 예시를 얻을 수 있고, 반대로 증명이 성립할 경우 영구행렬에 대해 강력한 하한을 이끌어낼 수 있다.