[논문 리뷰] Shape analysis on homogeneous spaces

Elena Celledoni|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

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한 줄 요약

이 논문은 벡터 공간에서부터 리 군과 동차 다양체로 제곱근 속도 변환(SRVT)을 일반화하여, 곡률이 있고 대칭적인 공간에서 매개변수화 불변 형태 분석을 가능하게 한다. 주요 기여는 비유클리드 기하학에서 형태 분석을 위한 통합된 프레임워크를 제공함으로써, SRVT의 유용성을 구면 및 회전 군과 같은 복잡한 형태 공간으로 확장하는 것이다.

ABSTRACT

Shape analysis is ubiquitous in problems of pattern and object recognition and has developed considerably in the last decade. The use of shapes is natural in applications where one wants to compare curves independently of their parametrisation. Shapes are in fact unparametrized curves, evolving on a vector space, on a Lie group or on a manifold. One popular approach to shape analysis is by the use of the Square Root Velocity Transform (SRVT). In this talk we propose a generalisation of the SRVT from vector spaces to Lie groups and to homogeneous manifolds. This is Joint work with S. Eidnes, A. Schmeding.

연구 동기 및 목표

• 벡터 공간을 초월하여 리 군과 동차 다양체와 같은 비유클리드 기하학으로 제곱근 속도 변환(SRVT)을 확장하는 것.
• 의료 영상 및 컴퓨터 비전 응용 분야에서 핵심적인 곡면에서의 매개변수화 불변 형태 비교를 가능하게 하는 것.
• 비유클리드 기하학에서 SRVT의 유용한 성질(예: 등거리성 및 지오데식 계산의 단순화)을 유지하는 기하학적 프레임워크를 개발하는 것.
• 표준 유클리드 SRVT가 곡률과 비아벨 구조로 인해 실패하는 다각형에서의 형태 분석에 대한 이론적 기반을 제공하는 것.

제안 방법

• 리 군의 매우르-카르탕 형식을 사용하여 표준 속도 벡터를 오른쪽 불변 벡터장으로 대체함으로써 SRVT를 일반화한다.
• 재매개변수화 군에 대한 리 군 위의 곡선 공간의 몫으로 형태 공간을 정의하며, 유클리드 경우와 유사하게 한다.
• 리 군의 오른쪽 불변 리만 기하학을 사용하여 형태 공간에 거리계를 정의함으로써, 형태 공간의 접선 공간과의 등거리성을 보장한다.
• 리 군의 지수 함수와 로그 함수를 사용하여 형태를 운반하고 형태 공간 내 지오데식을 계산한다.
• 곡선을 주 다발로 올리고 군 기반 SRVT를 적용하여 동차 다양체에서의 SRVT를 유도한다.
• 변환된 공간이 원래 다각형의 리만 기하학을 그대로 이어받아 형태 거리 및 지오데식의 효율적 계산이 가능하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱근 속도 변환(SRVT)은 어떻게 벡터 공간에서 리 군과 동차 다양체로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 리 군에서 어떤 기하학적 구조가 고전적 SRVT의 등거리성 및 단순화 성질을 유지하는가?
• RQ3 리 군에서의 재매개변수화 불변 형태 공간은 표준 유클리드 형태 공간과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 매우르-카르탕 형식은 리 군에서 속도 표현을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 SRVT 프레임워크는 구면 또는 회전 군과 같은 비유클리드 대칭 공간으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 SRVT는 리 군의 형태 공간의 접선 공간으로 매핑될 때 원래 변환의 등거리 성질을 유지한다.
• 리 군의 형태 공간은 오른쪽 불변 메트릭으로부터 유도된 리만 기하학을 물려받으며, 지수 함수를 통해 지오데식 계산이 가능하다.
• 로그 함수를 통한 리 대수로의 임bedding으로 인해 형태가 매개변수화로부터 분리된다.
• 표준 SRVT가 곡률과 비아벨 성질로 인해 실패하는 곡면 다각형(예: SO(3) 및 구면)에서도 일관된 형태 비교가 가능하다.
• 이 방법은 계산 해부학 분야에서 중요한 동차 공간에서 형태 거리 및 보간의 효율적 계산을 가능하게 한다.